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Forum "Integrationstheorie" - partielle Integration richtig?
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partielle Integration richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Sa 12.01.2013
Autor: bobiiii

Aufgabe
Berechnen Sie durch partielle Integration

[mm] \integral_{}^{}{x^2*e^{-2x} dx} [/mm]

Hallo allerseits!

Kann bitte jemand kontrollieren ob meine Rechnung richtig ist?

[mm] u'=e^{-2x} [/mm]
[mm] u=-\frac{1}{2}*e^{-2x} [/mm]

[mm] v=x^2 [/mm]
$v'=2x$

= [mm] -\frac{1}{2}*e^{-2x}+\integral_{}^{}{e^{-2x}*x*dx} [/mm]

= [mm] -\frac{1}{2}*e^{-2x}-\frac{1}{2}*e^{-2x}*\frac{x^2}{2}+C [/mm]

Gruß,
bobiiii


        
Bezug
partielle Integration richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Sa 12.01.2013
Autor: Diophant

Hallo bobiiii,

> Berechnen Sie durch partielle Integration
>
> [mm]\integral_{}^{}{x^2*e^{-2x} dx}[/mm]
> Hallo allerseits!
>
> Kann bitte jemand kontrollieren ob meine Rechnung richtig
> ist?

Gerne.

>
> [mm]u'=e^{-2x}[/mm]
> [mm]u=-\frac{1}{2}*e^{-2x}[/mm]
>
> [mm]v=x^2[/mm]
> [mm]v'=2x[/mm]
>

Das ist soweit richtig und auch zielführend gewählt.

> = [mm]-\frac{1}{2}*e^{-2x}+\integral_{}^{}{e^{-2x}*x*dx}[/mm]
>
> = [mm]-\frac{1}{2}*e^{-2x}-\frac{1}{2}*e^{-2x}*\frac{x^2}{2}+C[/mm]
>

Hier komme ich nicht mehr mit, konkret: das ist falsch. Es dürfte von vornherein klar sein, dass zweimalige partielle Integration notwendig ist. Die Rechnung beginnt so:

[mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}-\integral{2x*\left(-\bruch{1}{2}\right)e^{-2x} dx}[/mm]

so dass man jetzt ein weiteres Integral hat, dass man mit partieller Integration lösen muss.

Und jetzt du wieder. :-)


Gruß, Diophant


Bezug
                
Bezug
partielle Integration richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Sa 12.01.2013
Autor: bobiiii

Hallo,

Danke für die Konrolle!

> [mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}-\integral{2x*\left(-\bruch{1}{2}\right)e^{-2x} dx}[/mm]

Kann man das dann nicht auch so schreiben, oder kürzen und dann noch mal partiell integrieren? Da ich vorhin das [mm] 2x*-\frac{1}{2} [/mm] ausgerechnet habe.

[mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}+\integral{x*e^{-2x} dx}[/mm]

Gruß,
bobiiii


Bezug
                        
Bezug
partielle Integration richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Sa 12.01.2013
Autor: M.Rex

Hallo


> Hallo,
>  
> Danke für die Konrolle!
>  
> >
> [mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}-\integral{2x*\left(-\bruch{1}{2}\right)e^{-2x} dx}[/mm]
>  
> Kann man das dann nicht auch so schreiben, oder kürzen und
> dann noch mal partiell integrieren? Da ich vorhin das
> [mm]2x*-\frac{1}{2}[/mm] ausgerechnet habe.
>  
> [mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}+\integral{x*e^{-2x} dx}[/mm]
>  
>  

Das ist ok so. Nun berechne das neu entstandene Integral wieder mit partieller Integration.

Marius


Bezug
                        
Bezug
partielle Integration richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Sa 12.01.2013
Autor: Diophant

Hi bobiiii,

> Kann man das dann nicht auch so schreiben, oder kürzen und
> dann noch mal partiell integrieren? Da ich vorhin das
> [mm]2x*-\frac{1}{2}[/mm] ausgerechnet habe.
>
> [mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}+\integral{x*e^{-2x} dx}[/mm]

Doch natürlich (wie Marius ja auch schon bestätigt hat), und ich hatte übersehen, dass du das gemacht hast. Aber

- der erste Summand ist bei dir falsch und
- ebenso das ausgerechnete zweite Integral.

Zur Kontrolle: insgesamt musst du drei Summanden herausbekommen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
partielle Integration richtig?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Sa 12.01.2013
Autor: bobiiii

Hallo,

> [mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}+\integral{x*e^{-2x} dx}[/mm]
>  
> Doch natürlich (wie Marius ja auch schon bestätigt hat),
> und ich hatte übersehen, dass du das gemacht hast. Aber
>  
> - der erste Summand ist bei dir falsch und
>  - ebenso das ausgerechnete zweite Integral.

Es kommt beim ersten [mm]\integral{x^2*e^{-2x}dx}=-\bruch{1}{2}x^2*e^{-2x}-\integral{-x*e^{-2x} dx}[/mm] raus, oder irre ich mich? Dann habe ich das - vors Integral gestellt.

Gruß,
bobiiii



Bezug
                                        
Bezug
partielle Integration richtig?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Sa 12.01.2013
Autor: Diophant

Hallo,

de facto fehlt halt im Themenstart dem ersten Summanden der Faktor [mm] x^2. [/mm] Und nochmal: das jetzt dastehende Integral

[mm] \integral{x*e^{-2x} dx} [/mm]

hast du ebenfalls falsch berechnet. Da braucht man nochmals partielle Intergation, damit das x vollends verschwindet.


Gruß, Diophant


Bezug
                                                
Bezug
partielle Integration richtig?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:14 Sa 12.01.2013
Autor: bobiiii

Hallo,

Stimmt, dass mit dem [mm] x^2 [/mm] habe ich dummerweise übersehen.
Danke für die Hilfe, ab jetzt müsste ich es alleine schaffen!

Danke auch an Marius!

Gruß,
bobiiii

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