partielle integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mo 08.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | berechne [mm] \integral{1/(x*ln(x)) dx} [/mm] mit partieller integration. |
Hallo liebe Gemeinde!
[mm] \integral{1/(x*ln(x)) dx}
[/mm]
setze u=1/ln(x) , dv=(1/x)dx
somit [mm] v=\integral{1/x} [/mm] dx= ln(x) , du/dx=-1/(x*ln(x)²) [mm] \Rightarrow [/mm] du=-dx/(x*ln(x)²)
mit partieller integration ergibt sich also (gekürzt)
[mm] \integral{1/(x*ln(x)) dx}= [/mm] ln(x)/ln(x) - [mm] \integral{1/(x*ln(x)) dx}
[/mm]
wenn man nun auf beiden seiten das integral abzieht folgt daraus
0=1
darf in diesem fall die partielle integration nicht angewendet werden?
wenn ja, warum nicht?
ps: es ist klar dass das bsp leicht durch substitution lösbar ist:
setze u=ln(x), du= (1/x)dx
[mm] \integral{1/(x*ln(x)) dx}=\integral{1/u du}= [/mm] ln(u)+c = ln(ln(x))+c
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Hallo elmanuel,
> berechne [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}[/mm] mit partieller
> integration.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}[/mm]
>
> setze u=1/ln(x) , dv=(1/x)dx
>
> somit [mm]v=\integral{1/x}[/mm] dx= ln(x) , du/dx=-1/(x*ln(x)²)
> [mm]\Rightarrow[/mm] du=-dx/(x*ln(x)²)
>
> mit partieller integration ergibt sich also (gekürzt)
>
>
> [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}=[/mm] ln(x)/ln(x) -
> [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}[/mm]
>
> wenn man nun auf beiden seiten das integral abzieht folgt
> daraus
>
> 0=1
>
> darf in diesem fall die partielle integration nicht
> angewendet werden?
> wenn ja, warum nicht?
>
Partielle Integration kannst Du hier nicht anwenden,
weil es hier um ein Integral der Form
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{f}*f' \ dx}[/mm]
handelt.
>
> ps: es ist klar dass das bsp leicht durch substitution
> lösbar ist:
>
> setze u=ln(x), du= (1/x)dx
>
> [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}=\integral{1/u du}=[/mm] ln(u)+c =
> ln(ln(x))+c
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 08.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke MathePower!
> Partielle Integration kannst Du hier nicht anwenden,
> weil es hier um ein Integral der Form
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{f}*f' \ dx}[/mm]
>
> handelt.
OK.
und das ist immer so? warum? gibt es da eine allgemeine regel die das besagt?
danke
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¡Hola elmanuel!
Ja, da gibt es sozusagen einen allgemeinen Warnhinweis:
> > Partielle Integration kannst Du hier nicht anwenden,
> > weil es hier um ein Integral der Form
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{f}*f' \ dx}[/mm]
> >
> > handelt.
>
> OK.
>
> und das ist immer so? warum? gibt es da eine allgemeine
> regel die das besagt?
Wenn Du so ein Integral hast und partiell integrierst, bekommst du immer eine Gleichung, die nach 0=1 aussieht. Schau Dir dazu mal die Diskussion zwischen chrisno und mir weiter unten im Thread an.
Das ist so der Moment, wo man denkt, man habe einen Fehler gemacht - obwohl das gar nicht so ist. Es sieht nur so aus. Schon wenn u(x)*v(x)=1 ist, solltest Du hieran denken.
Meistens kann man die Beziehung von f'(x) und f(x) ja "sehen", aber das ist keineswegs immer der Fall. Besonders, wenn trigonometrische Funktionen im Spiel sind, tappt man leicht in die Falle.
Du weißt sicher (oder kannst nachrechnen), dass [mm] \bruch{d}{dx}\tan{x}=\bruch{1}{\cos^2{x}} [/mm] ist.
Aber wenn die Aufgabe lautet [mm] \int{\bruch{1}{\sin{x}*\cos{x}}\ dx}=? [/mm] ,
dann sehen die meisten wohl kaum noch, dass sich dahinter (auch) dies verbirgt: [mm] \bruch{1}{\sin{x}\cos{x}}=\bruch{1}{\cos^2{x}*\bruch{\sin{x}}{\cos{x}}}=\bruch{1}{\cos^2{x}}*\bruch{1}{\tan{x}}
[/mm]
- und damit eben gerade die Form [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}
[/mm]
Du weißt jetzt natürlich, was herauskommt, aber versuch doch mal nachzuvollziehen, warum die partielle Integration auch bei dieser Aufgabe nicht so recht klappt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 09.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke reverend!
> ¡Hola elmanuel!
¡hola compadre!
> Du weißt jetzt natürlich, was herauskommt, aber versuch
> doch mal nachzuvollziehen, warum die partielle Integration
> auch bei dieser Aufgabe nicht so recht klappt.
ich denke ich kann das jetzt nachvollziehen danke!
ich habe mal versucht die überlegung allgemein aufzustellen:
Wende auf [mm] \integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} [/mm] = [mm] \integral{\frac{1}{f(x)}*f'(x)dx} [/mm] partielle integration an mit
[mm] \integral{u dv}=u*v-\integral{v du}
[/mm]
[mm] u=\frac{1}{f(x} \quad [/mm] dv=f'(x)dx
somit [mm] v=\integral{f'(x)dx}=f(x) [/mm]
und
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx} (\frac{1}{f(x)})
[/mm]
mit kettenregel und substitution f(x)=z ergibt sich
[mm] \frac{du}{dx}=-\frac{1}{z^2}*z'
[/mm]
also
[mm] du=\frac{-f'(x)}{f(x)^2} [/mm] dx
jetzt setze ich in die substitutionsformel ein und erhalte
[mm] \integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\frac{f(x)}{f(x)} [/mm] - [mm] \integral{\frac{f(x)*f'(x)}{f(x)^2}dx}
[/mm]
also
[mm] \integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} [/mm] = 1+ [mm] \integral{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}
[/mm]
Die Differenz von 1 ergibt sich durch die additive Konstante beider unbestimmten Integrale.
Korrekt??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 09.10.2012 | | Autor: | chrisno |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nur musste ich erst den Quelltext ansehen, um das verschwundene Quadrat zu finden. Gib [mm]x^2[/mm] ein, damit man das auch so sieht. Generell ist es am einfachsten, eine ganze Formelzeile mit [mm] zu beginnen und erst am Ende mit [/mm]abzuschließen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Di 09.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke ... habs ausgebessert
verwende erst seit kurzem ubuntu und das macht bei mir als der zeichenfolge ^2 automatisch ²... komisch dass :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 08.10.2012 | | Autor: | chrisno |
> .... mit partieller integration ergibt sich also (gekürzt)
>
>
> [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}=[/mm] ln(x)/ln(x) -
> [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}[/mm]
>
Aus dem Minuszeichen würde ich ein Plus machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mo 08.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
ja, sorry vertipper
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mo 08.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo chrisno,
> > .... mit partieller integration ergibt sich also
> (gekürzt)
> >
> >
> > [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}=[/mm] ln(x)/ln(x) -
> > [mm]\integral{1/(x*ln(x)) dx}[/mm]
> >
> Aus dem Minuszeichen würde ich ein Plus machen.
Was würde das denn verbessern? Hier stimmt doch noch mehr nicht.
Klüger wäre es doch, mit [mm] u=\ln{x} [/mm] zu substituieren, wenn man dem Integral die Form nicht ansieht, die MathePower schon beschrieben hat.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Mo 08.10.2012 | | Autor: | chrisno |
hallo reverend,
ich habe nur den Vertipper gesehen und nicht noch einmal nachgerechnet. Ich würde das Integral auch mit einer Substitution angehen. Mich stört nur, dass in der Aufgabe explizit die partielle Integration gefordert wird. Vielleicht übersehe ich etwas, aber von der mir ungewohnten Schreibweise abgesehen, finde ich keinen Fehler. Das stört mich im Moment noch mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mo 08.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo chrisno,
sei [mm] f(x)=\bruch{1}{x}*\bruch{1}{\ln{x}}
[/mm]
Weiter sei für den Zweck der partiellen Integration [mm] u'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] und [mm] v(x)=\blue{\bruch{1}{\ln{x}}}
[/mm]
Dann ist [mm] u(x)=\ln{x} [/mm] und [mm] v'(x)=-\bruch{1}{(\ln{x})^2}*\bruch{1}{x}
[/mm]
Also [mm] \int{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{\ln{x}}\ dx}=1-\int{-\bruch{\ln{x}}{(\ln{x})^2}*\bruch{1}{x}\ dx}
[/mm]
- jedenfalls für x>0, [mm] x\not=1.
[/mm]
Allerdings steht hier keineswegs die Gleichung 0=1, da beide verbliebenen Integrale ja noch eine Integrationskonstante "mitschleppen".
Die Gleichung heißt also im Wesentlichen [mm] c_1=1+c_2, [/mm] wobei [mm] c_1, c_2 [/mm] Konstanten sind. Da entsteht kein Problem, aber einer Lösung ist man damit eben auch überhaupt nicht nähergekommen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mo 08.10.2012 | | Autor: | chrisno |
ok.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht sollte es man mal ganz deutlich sagen: wenn man versucht ein Integral der Form
$ [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] $
mit partieller Integration zu bestimmen, so erhält man
(*) $ [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}= [/mm] 1+ [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}$.
[/mm]
Falsch ist das nicht, denn (*) besagt "nur":
links steht eine Stammfunktion von [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] und rechts ebenso.
Gebracht hats allerdings nichts.
Allgemein: eine Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt, daher besagt eine Gleichung der Form
(**) [mm] \integral{h(x)dx}=C+ \integral{g(x)dx}
[/mm]
nur: h=g.
Wobei wir wieder bei der Frage sind: was bedeutet eigentlich [mm] \integral{g(x)dx} [/mm] ?
Einigkeit herrscht hier leider nicht. Manche verstehen darunter eine Stammfunktion von g, andere verstehen darunter die Menge aller Stammfunktionen von g.
Welcher Auffassung man sich anschließt ist eigentlich egal, solange man eine Gleichung wie (**) richtig interpretiert.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mi 10.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
hi fred!
danke für die saubere ausformulierung!
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