partielles ableiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 17.07.2007 | | Autor: | michelbe |
| Aufgabe 1 | | bitte um hilfe beim partiellen& allgemeinen ableiten |
| Aufgabe 2 | | probleme beim ableiten |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo, ich verstehe diese ableitung nicht recht : es heißt man solle hier kettenregel UND produktregel anwenden, ich wende aber nur die produktregel an, mache also wohl etwas falsch.
z= ln xy + [mm] [b]x[b/]*\wurzel{xy+y}
[/mm]
partiell nach x :
zx = [mm] \bruch{1}{xy} [/mm] *y + [mm] \wurzel{xy+y} [/mm] + [mm] x*\bruch{1}{2+\wurzel{xy+y}} [/mm] *[b]y[/]
1.ich denke, ich habe hier [mm] \wurzel{xy+y} [/mm] = uv' und [mm] x*\bruch{1}{2+\wurzel{xy+y}} [/mm] = u'v nur nach der produktregel abgeleitet oder?
( ergebnis stimmt, das war angegeben )
2. außerdem verstehe ich nicht, waruzm dort ~ y steht und nicht ~ /wurzel{y} . bei der partiellen ableitung bleibt doch y als konstante zurück, aber die konstante stand doch unter der wurzel?
...wie ihr sieht verwechsele ich wohl so einiges; wäre für Hilfe sehr sehr dankbar.
Gruß
Michel
Hallo tut mir sehr leid, ich habe das obige nun dick markierte x vergessen in der funktion
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> bitte um hilfe beim partiellen& allgemeinen ableiten
> probleme beim ableiten
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallo, ich verstehe diese ableitung nicht recht : es heißt
> man solle hier kettenregel UND produktregel anwenden, ich
> wende aber nur die produktregel an, mache also wohl etwas
> falsch.
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> z= ln xy + [mm]\wurzel{xy+y}[/mm]
>
> partiell nach x :
>
> [mm]z_x = \blue{\bruch{1}{xy}\cdot y} + \red{\wurzel{xy+y}} + \green{x\cdot \bruch{1}{2+\wurzel{xy+y}}\cdot y}[/mm]
Der von mir blau eingefärbte Term ist die korrekte partielle Ableitung von [mm] $\ln(xy)$ [/mm] nach $x$, aufgrund der Kettenregel (und nicht etwa aufgrund der Produktregel, wie Du zu glauben scheinst). Und natürlich kannst Du in diesem Term dann gleich noch den Nenner $y$ gegen den Faktor $y$ kürzen.
Wie Du auf den von mir rot markierten Term kommst, ist mir völlig schleierhaft. Nachdem Du also [mm] $\ln(xy)$ [/mm] nach der Kettenregel nach $x$ partiell abgeleitet hast, musst Du nun noch [mm] $\sqrt{xy+y}$ [/mm] partiell nach $x$ ableiten. Auch in diesem Falle kommt wieder die Kettenregel zu Anwendung. Dies ergibt [mm] $\frac{1}{2\sqrt{xy+y}}\cdot [/mm] y$.
Auch der grün markierte Term ist nicht die partielle Ableitung von [mm] $\sqrt{xy+y}$ [/mm] nach $x$, so leid es mir tut...
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> 1.ich denke, ich habe hier [mm]\wurzel{xy+y}[/mm] = uv' und
> [mm]x*\bruch{1}{2+\wurzel{xy+y}}[/mm] = u'v nur nach der
> produktregel abgeleitet oder?
Diese Wurzel [mm] $\sqrt{xy+y}$ [/mm] ist doch kein Produkt von zwei Funktionen von $x$, sondern die Zusammensetzung (Verkettung: daher "Kettenregel") der beiden Funktionen [mm] $x\mapsto \sqrt{x}$ [/mm] ("äussere Funktion") und [mm] $x\mapsto [/mm] xy+y$ ("innere Funktion"). Also leitest Du diesen Term mit Vorteil gemäss der Kettenregel ab (salop formuliert: "äussere Ableitung mal innere Ableitung").
> [b]...wie ihr sieht verwechsele ich wohl so einiges;
Du verwechselst meiner unmassgeblichen Meinung nach sicher die Begriffe "Kettenregel" und "Produktregel". Welche merkwürdigen Ableitungsregeln Du bei der Produktion der oben rot bzw. grün markierten Terme verwendet hast, ist mir ein Rätsel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 17.07.2007 | | Autor: | michelbe |
hallo, tut mir leid, ich hab in meiner frage ein x vergessen, dieses ist nun dick markiert
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> korrektur
> hallo, tut mir leid, ich hab in meiner frage ein x
> vergessen, dieses ist nun dick markiert
Aha! - Dann ist in der Tat auch die Produktregel anzuwenden, und zwar als erstes: denn dieser Term [mm] $x\sqrt{xy+y}$ [/mm] ist, in erster Näherung, ein Produkt zweier Funktionen von $x$. Der Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] x$ und der Funktion [mm] $x\mapsto \sqrt{xy+y}$. [/mm] Zur Ableitung des Faktors [mm] $\sqrt{xy+y}$ [/mm] braucht es dann aber auch noch die Kettenregel. Leiten wir also einmal den Term [mm] $x\sqrt{xy+y}$ [/mm] partiell nach $x$ ab:
[mm]\begin{array}{rcll}
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\sqrt{xy+y}\big) &=& \big(\frac{\partial}{\partial x}x\big)\cdot \sqrt{xy+y}+x\cdot\big(\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{xy+y}\big)&\text{Produktregel}\\
&=& 1\cdot\sqrt{xy+y}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{xy+y}}\cdot y &\text{Kettenregel für Ableitung von } \sqrt{xy+y}\\
&=& \sqrt{xy+y}+\frac{xy}{2\sqrt{xy+y}}\end{array}[/mm]
Dazu musst Du natürlich nun noch Deine korrekte partielle Ableitung von [mm] $\ln(xy)$ [/mm] nach $x$ dazugeben, das war [mm] $\frac{1}{xy}\cdot [/mm] y$ d.h. [mm] $\frac{1}{x}$. [/mm] Eventuell kann man noch versucht sein, noch kleinere "dekorative" Verbesserungen vorzunehmen.
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