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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:54 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Seien $a,b$ stetige periodische Funktionen, wobei beide dieselbe Periode haben. Zeigen Sie, dass die DGL $y''+ay'+by=0$ eine Lösung der Form [mm] $y(x)=\exp(\kappa [/mm] x)h(x)$ besitzt, mit einer komplexen Zahl [mm] $\kappa$ [/mm] und einer periodischen Funktion $h(x)$. |
Hallo zusammen. Ich habe einen Beweis, aber einen Schritt kann ich nicht ganz nachvollziehen. Führe die DGL auf ein System erster Ordnung zurück. Durch [mm] $A:=\begin{pmatrix}0 & 1\\
-b & -a
\end{pmatrix},z=\begin{pmatrix}y\\
y'
\end{pmatrix}$ [/mm] erhalte also z'=Az. Die Matrix A ist nun als Funktion von x periodisch, weil a,b dieselbe Periode haben. Somit existiert nach dem Satz von Floquet eine konstante Matrix [mm]R[/mm] mit komplexen Koeffizienten und eine periodische Funktion [mm] $H:\mathbb{R}\to\mbox{GL}(2,\mathbb{C})$ [/mm] , sodass für eine Fundamentalmatrix [mm] $\Phi$ [/mm] des Systems gilt: [mm] $\Phi(x)=H(x)\exp(xR)$. [/mm] Sei [mm]\kappa[/mm] ein Eigenwert von [mm]R[/mm] und [mm]v[/mm] ein Eigenvektor. Dann ist [mm] $\Phi(x)v$ [/mm] eine Lösung des Systems, also ist die erste Komponente eine Lösung unserer Ausgangsgleichung.
Hier die erste Frage: Warum nimmt man unbedingt einen Eigenvektor v.
Theoretisch ist doch jeder konstante Vektor möglich oder? Okay, vielleicht ergibt sich das ja aus dem Folgenden:
Die erste Komponente von [mm] $\Phi(x)v$ [/mm] hat die Form [mm] $\exp(\kappa [/mm] x)h(x)$ mit einer periodischen Funktion $h$.
Damit ist der Beweis fertig.
Die letzte Aussage verstehe ich aber nicht. Ich konnte zeigen, dass die erste Komponente von [mm] $\Phi(x)v$ [/mm] von der geforderten Form ist, wenn $R$ nur den Eigenwert [mm] $\kappa$ [/mm] besitzt. Denn dann gilt [mm] $R=PJP^{-1}$ [/mm] mit einer invertierbaren Matrix $P$ und [mm] $J=\begin{pmatrix}\kappa & 0\\
0 & \kappa
\end{pmatrix}$ [/mm] oder [mm] $J=\begin{pmatrix}\kappa & 1\\
0 & \kappa
\end{pmatrix}$.
[/mm]
Und es folgt [mm] $\exp(R)=P\exp(J)P^{-1}=P\begin{pmatrix}e^{\kappa} & 0\\
0 & e^{\kappa}
\end{pmatrix}P^{-1}$, [/mm] falls [mm]J[/mm] Diagonalmatrix und [mm] $P\begin{pmatrix}e^{\kappa} & e^{\kappa}\\
0 & e^{\kappa}
\end{pmatrix}P^{-1}$, [/mm] falls $J$ nur aus einem Jordan-Block besteht. Dann kann man durch Ausrechnen zeigen, dass [mm] $H(x)P\exp(xJ)P^{-1}v$ [/mm] von der gefortderten Form ist. Besitzt $R$ allerdings 2 Eigenwerte, so geht dieselbe Rechnung schief, weil man nach Ausklammern von [mm] $\exp(\kappa [/mm] x)$ dann als weiteren Faktor keine periodische Funktion erhält.
Denke ich also zu kompliziert und es ist viel einfacher, oder geht das überhaupt nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 17.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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