pkt/glm. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Sa 17.02.2007 | | Autor: | elfi123 |
| Aufgabe | | Folge fn (x)=1/nx auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen!x [mm] \in [/mm] D, D ist von 0 bis unendlich, aber 0 ausgeschlossen |
Nun, diese Folge ist punktweise konvergent, sie ist aber nicht gleichmäßig konvergent. Warum ist die Folge nicht gleichmäßig konvergent?Ich hätte die Folge mit 1/n abgeschätzt und gesagt, dass der Superior gegen 0 geht, also die Folge glm. konvergent ist. Aber der Superior geht gegen unendlich. Warum?
Kann mir jemand helfen?
Grüße
Elfi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Sa 17.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Elfi!
> Folge fn (x)=1/nx auf punktweise und gleichmäßige
> Konvergenz untersuchen!x [mm]\in[/mm] D, D ist von 0 bis unendlich,
> aber 0 ausgeschlossen
Zuersteinmal: Welche Funktionenfolge meinst du jetzt? Die Folge [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n x}$ [/mm] oder die Folge [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] x$?
Macht im Endeffekt keinen Unterschied, aber waer schon gut wenn du das in Zukunft etwas genauer aufschreiben koenntest 
> Nun, diese Folge ist punktweise konvergent, sie ist aber
> nicht gleichmäßig konvergent. Warum ist die Folge nicht
> gleichmäßig konvergent?Ich hätte die Folge mit 1/n
> abgeschätzt
Du meinst, du schaetzt [mm] $f_n(x)$ [/mm] durch die konstante Funktion [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ab? Das geht nicht, weder fuer [mm] $\frac{1}{n x}$ [/mm] (schau dir $x < 1$ an) noch fuer [mm] $\frac{1}{n} [/mm] x$ (schau dir $x > 1$ an).
> und gesagt, dass der Superior gegen 0 geht,
> also die Folge glm. konvergent ist. Aber der Superior geht
> gegen unendlich. Warum?
Welcher Superior geht gegen unendlich?
> Kann mir jemand helfen?
Die Grenzfunktion ist die Nullfunktion, das hast du schon rausgefunden, oder? Wenn die Folge nun gleichmaessig konvergent waere, so gaebe es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] so, dass fuer alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $f_n(x) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $x > 0$.
Was du machen musst, ist fuer jedes [mm] $n_0$ [/mm] und jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und ein $x > 0$ anzugeben mit [mm] $f_n(x) \ge \varepsilon$. [/mm] Das wuerde dann einen Widerspruch zur gleichmaessigen Konvergenz geben.
Wenn du [mm] $n_0$ [/mm] gegeben hast, kannst du $n = [mm] n_0$ [/mm] waehlen. Wie waehlst du $x$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Di 20.02.2007 | | Autor: | elfi123 |
Hallo Felix,
1. ich meine die 1. Folge, die du aufgeschrieben hast. Also x und n als Nenner.
2. Ich verstehe es trotz deiner Erklärung nicht :-(
Frage: Warum kann ich es nicht mit 1/n abschätzen?
Und warum ist dieses Superior unendlich?
Oh man, ich fühle mich gerade dumm!
bis dann,
Elif
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Di 20.02.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
1.Felix hat doch scon geschrieben: nimm x<1 also stell dir [mm] x=10^{-7} [/mm] vor! wie willst du [mm] 10^7/n [/mm] durch 1/n abschaetzen?
2. Gleichmaesig konv heisst dass du voellig unabh, von x ein N angeben kannst so dass [mm] |fn-g|<\epsilon!
[/mm]
und jetzt nimm mal nacheinander x=1, 0,1 0,01 0,00000001 usw. und gib ein N fuer alle an, wenn du das hast ists immer noch keins fuer [mm] x=10^{-100}. [/mm] Da du aber fuer jeden festen Punkt ein N angeben kannst ist es Punktweise konv.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Di 20.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
huhu Elfi :)
Die Definition der glm. Konvergenz lautet doch wie folgt:
[mm]f_n(x) \xrightarrow[\text{glm.}][/mm] [mm]0 [/mm]
genau dann, wenn
[mm]\forall \varepsilon>0[/mm] [mm]\exists n_0[/mm] [mm]\forall n\ge n_0[/mm] [mm]\forall x \in D[/mm] [mm]: |f_n(x)| < \varepsilon[/mm]
um zu zeigen, dass keine glm. Konvergenz vorliegt, zeigt man die Negation dieser Aussage
[mm]\exists \varepsilon[/mm] [mm]\forall n_0[/mm] [mm]\exists n\ge n_0[/mm] [mm]\exists x \in D[/mm] [mm]: |f_n(x)| \ge \varepsilon[/mm]
Dann wähle
[mm]\varepsilon = \frac 1 2[/mm] , [mm]n_0 = n[/mm] , [mm]x = \frac 1 n[/mm]
dann gilt:
[mm]|f_n(x)| = |\frac{1}{nx}| = |\frac{1}{n\frac 1 n}| = 1 \ge \frac 1 2 = \varepsilon[/mm]
:)
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