pkt glm Konv. @Funktionenfolge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f_{n}(x)=(a*x(1-x))^{n} [/mm]
Auf dem Intervall von [0,1] und [mm] a\in \IR
[/mm]
Bestimmen Sie wenn vorhanden punktweise/gleichmässige Konvergenz |
Mein Lösungsansatz:
Es gilt [mm] f_{n}(0)=f_{n}(1)=0 ...\forall n\in \IN
[/mm]
Für [mm] x\in [/mm] (0,1) gilt:
[mm] f_{n}(x)=(a*x(1-x))^{n} [/mm] =...?
Leider weiß ich nicht, wie ich hier verknünftig weiter rechnen soll.
Ich bin der Meinung, dass ich hier, je nach dem was a für ein Wert hat etwas anderes heraus bekomme, also dass ich eine Fallunterscheidung brauche.
Aber wie ich jetzt genau weiter mache weiß ich nicht.
Und da ich keine Grenzfunktion f(x)=... habe kann ich mir über gleichmässige Konvergenz noch keine Gedanken machen.
Hoffe mir kann jemand ein hilfreichen Rat geben.
mfg
Albert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Do 10.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f_{n}(x)=(a*x(1-x))^{n}[/mm]
> Auf dem Intervall von [0,1] und [mm]a\in \IR[/mm]
> Bestimmen Sie
> wenn vorhanden punktweise/gleichmässige Konvergenz
> Mein Lösungsansatz:
> Es gilt [mm]f_{n}(0)=f_{n}(1)=0 ...\forall n\in \IN[/mm]
was folgt also - sogar für jedes $a [mm] \in \IR$ [/mm] - für [mm] $f_n(0)$ [/mm] und auch für [mm] $f_n(1)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
> Für
> [mm]x\in[/mm] (0,1) gilt:
> [mm]f_{n}(x)=(a*x(1-x))^{n}[/mm] =...?
>
> Leider weiß ich nicht, wie ich hier verknünftig weiter
> rechnen soll.
> Ich bin der Meinung, dass ich hier, je nach dem was a für
> ein Wert hat etwas anderes heraus bekomme, also dass ich
> eine Fallunterscheidung brauche.
Du kannst schlecht alle $a [mm] \in \IR$ [/mm] durchspielen - das wären ja nicht nur
"unendlich viele", sondern "sogar überabzählbar unendlich" viele! Also
brauchst Du vor allem eine "vernünftige" Fallunterscheidung. Meintest Du
das so?
> Aber wie ich jetzt genau weiter mache weiß ich nicht.
> Und da ich keine Grenzfunktion f(x)=... habe kann ich mir
> über gleichmässige Konvergenz noch keine Gedanken
> machen.
Nun: Betrachten wir mal [mm] $g_n(r):=r^n$ [/mm] für $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Ist Dir klar, für
welche $r [mm] \in \IR$ [/mm] nun [mm] ${(g_n(r))}_n$ [/mm] konvergiert - und gegen was dann
jeweils?
Bei Deiner Aufgabe betrachtet man
[mm] $$f_n(x)=(a*x*(1-x))^n\;\; \text{ für alle }x \in [0,1]\,,$$
[/mm]
wobei $a [mm] \in \IR$ [/mm] irgendeine beliebige, aber feste Zahl (Parameter) ist.
Wenn Du $a [mm] \in \IR$ [/mm] als Parameter hast, und nun $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ hast, dann
mach' Dir mit
$$r:=a*x*(1-x)$$
nun Gedanken für die Fälle:
1. Fall: Es sei $|r| [mm] \le 1\,,$ [/mm] dann...
2. Fall: Es sei $|r| > [mm] 1\,,$ [/mm] dann...
Beispiel: Ist etwa [mm] $a=8\,$ [/mm] und [mm] $x=1/2\,,$ [/mm] dann wäre
[mm] $$(a*x*(1-x))^n=(8*1/2*1/2)^n=2^n\,,$$
[/mm]
und daher ...
Interessant wäre auch die Frage: Für genau welche $a [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass
die Folgen [mm] ${(f_n(x))}_n$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ konvergieren? Du siehst ja
schon etwa oben, dass dies für [mm] $a=8\,$ [/mm] nicht der Fall sein wird. Tipp zur
Beantwortung dieser Frage:
Hast Du eine Idee, wie man - bei festem [mm] $n\,$ [/mm] - das globale Extremum von
[mm] $f_n\,$ [/mm] (oder [mm] $|f_n|$) [/mm] berechnen kann? Man kann sich dabei der Ableitung
von [mm] $f_n$ [/mm] bedienen, es geht aber auch elementarer:
[mm] $$(a*x*(1-x))^n=(a*(x-x^2))^n=\left((-a)*\left(\Big(x-\frac{1}{2}\Big)^2-\frac{1}{4}\right)\right)^n$$
[/mm]
Was hilft das? Nunja, ich sehe so, dass wir uns für $|a| [mm] \ge [/mm] 4$ keine
großartigen Gedanken mehr zu machen brauchen, alleine dadurch, dass
ich mir [mm] $f_n$ [/mm] an der Stelle [mm] $x=1/2\,$ [/mm] angucke.
Und für den Fall $|a| < 4$ haben wir wenigstens schonmal das Wissen,
dass für jedes $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ die Folge [mm] ${f_n(x)}_n$ [/mm] konvergiert.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Nun: Betrachten wir mal [mm]g_n(r):=r^n[/mm] für [mm]r \in \IR\,.[/mm] Ist
> Dir klar, für
> welche [mm]r \in \IR[/mm] nun [mm]{(g_n(r))}_n[/mm] konvergiert - und gegen
> was dann
> jeweils?
für r < 1 konvergiert es gegen 0, das ist mir klar.
> Beispiel: Ist etwa [mm]a=8\,[/mm] und [mm]x=1/2\,,[/mm] dann wäre
> [mm](a*x*(1-x))^n=(8*1/2*1/2)^n=2^n\,,[/mm]
> und daher ...
...würde es für n [mm] ->\infty [/mm] ebenfalls gegen [mm] \infty [/mm] gehen und somit nicht konvergieren.
> Hast Du eine Idee, wie man - bei festem [mm]n\,[/mm] - das globale
> Extremum von
> [mm]f_n\,[/mm] (oder [mm]|f_n|[/mm]) berechnen kann? Man kann sich dabei der
> Ableitung
> von [mm]f_n[/mm] bedienen, es geht aber auch elementarer:
>
> [mm](a*x*(1-x))^n=(a*(x-x^2))^n=\left((-a)*\left(\Big(x-\frac{1}{2}\Big)^2-\frac{1}{4}\right)\right)^n[/mm]
Darf man fragen wie du den 2.Schritt gemacht hast? Im ersten Schritt hast du ja einfach x reinmultipliziert.
> Was hilft das? Nunja, ich sehe so, dass wir uns für [mm]|a| \ge 4[/mm]
> keine
> großartigen Gedanken mehr zu machen brauchen, alleine
> dadurch, dass
> ich mir [mm]f_n[/mm] an der Stelle [mm]x=1/2\,[/mm] angucke.
>
> Und für den Fall [mm]|a| < 4[/mm] haben wir wenigstens schonmal das
> Wissen,
> dass für jedes [mm]0 \le x \le 1[/mm] die Folge [mm]{f_n(x)}_n[/mm]
> konvergiert.
Habe also für |a|<4 punktweise Konvergenz und die Grenzfunktion ist einfach f(x)=0.
Für glm Konvergenz muss [mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] sein.
Eingesetzt gibt das:
[mm] |((-a)*((x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}))^n [/mm] -0|
[mm] =|((-a)*(x^2-x+1/4-1/4))^n|
[/mm]
[mm] =|(-ax^2-x)^n|
[/mm]
für x=0 ist es 0. X kann maximal 1 sein. daraus ergibt sich:
[mm] |(-a-1)^n|
[/mm]
Das sollte ja gegen 0 konvergieren.
Nach WK ergibt sich -a-1<1 <=>-2<a
Habe ich dann glm Konvergenz für -2<a<4?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Do 10.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Nun: Betrachten wir mal [mm]g_n(r):=r^n[/mm] für [mm]r \in \IR\,.[/mm] Ist
> > Dir klar, für
> > welche [mm]r \in \IR[/mm] nun [mm]{(g_n(r))}_n[/mm] konvergiert - und gegen
> > was dann
> > jeweils?
> für r < 1 konvergiert es gegen 0, das ist mir klar.
Das stimmt nicht, sondern für |r|<1
>
> > Beispiel: Ist etwa [mm]a=8\,[/mm] und [mm]x=1/2\,,[/mm] dann wäre
> > [mm](a*x*(1-x))^n=(8*1/2*1/2)^n=2^n\,,[/mm]
> > und daher ...
>
> ...würde es für n [mm]->\infty[/mm] ebenfalls gegen [mm]\infty[/mm] gehen
> und somit nicht konvergieren.
>
> > Hast Du eine Idee, wie man - bei festem [mm]n\,[/mm] - das globale
> > Extremum von
> > [mm]f_n\,[/mm] (oder [mm]|f_n|[/mm]) berechnen kann? Man kann sich dabei
> der
> > Ableitung
> > von [mm]f_n[/mm] bedienen, es geht aber auch elementarer:
> >
> >
> [mm](a*x*(1-x))^n=(a*(x-x^2))^n=\left((-a)*\left(\Big(x-\frac{1}{2}\Big)^2-\frac{1}{4}\right)\right)^n[/mm]
>
> Darf man fragen wie du den 2.Schritt gemacht hast? Im
> ersten Schritt hast du ja einfach x reinmultipliziert.
Marcel hat die Scheitelpunktform der Parabel [mm] y=x^2-x [/mm] berechnet (quadr. Ergänzung)
>
> > Was hilft das? Nunja, ich sehe so, dass wir uns für [mm]|a| \ge 4[/mm]
> > keine
> > großartigen Gedanken mehr zu machen brauchen, alleine
> > dadurch, dass
> > ich mir [mm]f_n[/mm] an der Stelle [mm]x=1/2\,[/mm] angucke.
> >
> > Und für den Fall [mm]|a| < 4[/mm] haben wir wenigstens schonmal das
> > Wissen,
> > dass für jedes [mm]0 \le x \le 1[/mm] die Folge [mm]{f_n(x)}_n[/mm]
> > konvergiert.
>
> Habe also für |a|<4 punktweise Konvergenz und die
> Grenzfunktion ist einfach f(x)=0.
>
> Für glm Konvergenz muss [mm]|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm] sein.
>
> Eingesetzt gibt das:
> [mm]|((-a)*((x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}))^n[/mm] -0|
> [mm]=|((-a)*(x^2-x+1/4-1/4))^n|[/mm]
> [mm]=|(-ax^2-x)^n|[/mm]
> für x=0 ist es 0. X kann maximal 1 sein. daraus ergibt
> sich:
> [mm]|(-a-1)^n|[/mm]
> Das sollte ja gegen 0 konvergieren.
> Nach WK ergibt sich -a-1<1 <=>-2<a
???????ß
>
> Habe ich dann glm Konvergenz für -2<a<4?
Nein.
Sei [mm] M_n:= [/mm] max [mm] \{|f_n(x)|: x \in [0,1] \}
[/mm]
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [0,1] glm. gegen die Nullfunktion [mm] \gdw (M_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Nun gilt: [mm] M_n= \bruch{|a|^n}{4^n} [/mm] Warum ?
FRED
>
|
|
|
| |
|
> Sei [mm]M_n:=[/mm] max [mm]\{|f_n(x)|: x \in [0,1] \}[/mm]
>
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [0,1] glm. gegen die Nullfunktion
> [mm]\gdw (M_n)[/mm] ist eine Nullfolge.
>
> Nun gilt: [mm]M_n= \bruch{|a|^n}{4^n}[/mm] Warum ?
Du hast es abgeschätzt, so dass [mm] |f_{n}(x)|
Also ist fn(x) glm konvergent für |a|<4.
Hoffe das ist so korrekt.
Finde dazu leider kein Button
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 10.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]M_n:=[/mm] max [mm]\{|f_n(x)|: x \in [0,1] \}[/mm]
> >
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [0,1] glm. gegen die Nullfunktion
> > [mm]\gdw (M_n)[/mm] ist eine Nullfolge.
> >
> > Nun gilt: [mm]M_n= \bruch{|a|^n}{4^n}[/mm] Warum ?
>
> Du hast es abgeschätzt, so dass [mm]|f_{n}(x)|
Besser: [mm] |f_{n}(x)| \le M_{n}
[/mm]
> und
> [mm]M_{n}[/mm] ist unabhängig von x und für |a|<4 eine Nullfolge.
> Also ist fn(x) glm konvergent für |a|<4.
>
> Hoffe das ist so korrekt.
ja
FRED
>
> Finde dazu leider kein Button
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 10.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Albert,
nur, damit das nun nicht in Vergessenheit gerät:
> > Sei [mm]M_n:=[/mm] max [mm]\{|f_n(x)|: x \in [0,1] \}[/mm]
> >
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [0,1] glm. gegen die Nullfunktion
> > [mm]\gdw (M_n)[/mm] ist eine Nullfolge.
> >
> > Nun gilt: [mm]M_n= \bruch{|a|^n}{4^n}[/mm] Warum ?
>
> Du hast es abgeschätzt, so dass [mm]|f_{n}(x)|
> [mm]M_{n}[/mm] ist unabhängig von x und für |a|<4 eine Nullfolge.
> Also ist fn(x) glm konvergent für |a|<4.
Du weißt nun also: Für alle $|a| < [mm] 4\,$ [/mm] konvergiert [mm] ${(f_n)}_n$ [/mm] gleichmäßig gegen
die Nullfunktion (damit insbesondere auch punktweise).
Frage: Was ist denn für [mm] $|a|=4\,$? [/mm] Mach' Dir Gedanken, wie die pktw.
Grenzfunktion [mm] $f\,$ [/mm] hier aussieht. Danach überlege Dir: Alle [mm] $f_n$ [/mm] sind hier
stetig. Würde [mm] $f_n \to [/mm] f$ glm. gelten, dann müßte [mm] $f\,$ [/mm] was sein?
P.S. Natürlich kann man hier, um die glm. Stetigkeit zu widerlegen, auch
Freds Argument benutzen. Generell ist's übrigens so, dass man dort
anstatt [mm] $\max$ [/mm] nur [mm] $\sup$ [/mm] schreiben kann (![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 15.4 (klick!)) - aber wenn das
Maximum existiert, stimmt das Supremum mit dem Maximum überein.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Do 10.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](a*x*(1-x))^n=(a*(x-x^2))^n=\left((-a)*\left(\Big(x-\frac{1}{2}\Big)^2-\frac{1}{4}\right)\right)^n[/mm]
>
> Darf man fragen wie du den 2.Schritt gemacht hast? Im
> ersten Schritt hast du ja einfach x reinmultipliziert.
Fred hat's ja im Wesentlichen schon gesagt. Rechne es mal selbst,
meinetwegen auf einem Schmierzettel:
[mm] $$x-x^2=-1*(\red{x^2-x})$$
[/mm]
und auf den roten Teil wendest Du quadratische Ergänzung an:
[mm] $$x^2-x=x^2-2*x*\frac{1}{2}=\left(x^2-2*x*\frac{1}{2}+\Big(\frac{1}{2}\Big)^2\right)-\Big(\frac{1}{2}\Big)^2=\ldots$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
