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| Aufgabe | WIr betrachten die Oissongleichung mit Dirichlet-Randbedingung auf dem Einheitsquadrat G=(0,1)x(0,1)
[mm] -\Delta [/mm] u(x) = f(x) für x [mm] \varepsilon [/mm] G
mit f: G [mm] \to \IR, f(x_{1}, x_{2}) [/mm] = [mm] \bruch{486}{10}(x_{1}-x_{2})^{2}
[/mm]
Bestimme eine Häherungslösung des obigen elliptischen Randwertproblems mit dem Differenzverfahren mit Schrittweite [mm] h=\bruch{1}{3}
[/mm]
a) stelle das lineare Gleichungssystem für das Differenzverfahren auf.
b) Bestimme [mm] U_{11} [/mm] derart, dass der Vektor [mm] u^{h} =(U_{11}, \bruch{2}{10},\bruch{2}{10},\bruch{2}{10})^{T} [/mm] hier Lösung des Differenzverfahrens ist.welche annäherung erhalten wir für u in [mm] (\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}) [/mm] |
Hi,
alaso mit der Aufgabe plage ich mich nun schon eine weile rum:
ich kann sagen, dass für a folgendes gilt:
[mm] \bruch{1}{h^2}\*Matrix \*U= [/mm] c
und das c = [mm] (f(x_{11},f(x_{12}),f(f(x_{21}),(f(x_{22}))^{T} [/mm] ist
aber irgendwie schaffe ich es nicht zu dem Gleichungssystem...kann mir jemand evtl weiterhelfen?
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Hallo!
Die Idee hinter dem Verfahren ist ja die Folgende: Ersetze den Laplaceoperator durch eine Differenzenapproximation:
[mm] $$\Delta [/mm] u(x, y) [mm] \approx \frac{1}{h^2} \left[ u(x-h, y) - 2u(x,y) +u(x+h, y) + u(x,y-h) - 2u(x,y) + u(x, y+h) \right]$$ [/mm] (du kannst ja einmal versuchen, diese Formel herzuleiten, falls du Lust hast)
Wenn du nun [mm] $U_{ij} [/mm] = u(i*h, j*h)$ für $i,j = 1,2$ setzt und deine Randbedingungen beachtest, erhälst du ja durch umschreiben das gewünschte Gleichungssystem. Das kannst du ja jetzt einmal alleine versuchen 
Gruß!
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