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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] z^{24} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (1-i) |
Hallo!
Das ist eine Aufgabe in einer Altklausur, mit der ich für die Analysis1-Klausur nächste woche lerne...
Dazu habe ich folgende Muster-Lösung:
"Es gilt [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] (1-i) = [mm] e^{-i \bruch{\pi}{4}} [/mm] , also muss |z| = 1 gelten, sowie in Polarkoordinaten z= r [mm] e^{i \alpha}:
[/mm]
[mm] e^{i (24 \alpha + \bruch{\pi}{4})} [/mm] = 1 [mm] \gdw \alpha [/mm] = k [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{192} [/mm] mit k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Die 24 verschiedenen Lösungen ergeben sich für k = 0, 1, .. , 23."
Das Problem ist, dass ich die aufgabe jetzt genauso wenig verstehe wie vorher, nur, dass ich noch verwirrter bin!
Wie kommen die auf die erste Gleichung?
da r=|z| ist, ist dann logisch, dass |z|=1
Aber dann weiter?
Ich habe keine Ahnung!
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Bitte!
Danke 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Fr 24.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du sehen, dass z=1-i auf der Winkelhalbierenden im 4 ten Quadranten liegt, also den Winkel [mm] -\pi/4 [/mm] oder [mm] +7\pi/4 [/mm] zur x Achse bildet? und die länge [mm] \wurzel{2} [/mm] hat?
also liegt [mm] 1/\wurzel{2}*(1-i) [/mm] auf dem Einheitskreis und hat den Winkel [mm] -\pi/4 [/mm] zur reellen Achse.
Du solltest dir angewöhnen, z immer in die Gaussche Zahlenebene einzuzeichnen!
natürlich gehts auch formal mit [mm] z=1/\wurzel{2}-i/\wurzel{2}=cos\phi-isin\phi
[/mm]
also [mm] cos\phi=1/\wurzel{2}, sin\phi=-1\\wurzel{2}
[/mm]
und daraus folgt auch [mm] \phi=-\pi/4.
[/mm]
War das nun die Frage oder geht es um die Wurzel?
Gruss leduart
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Danke erstmal :)
> Kannst du sehen, dass z=1-i auf der Winkelhalbierenden im
> 4 ten Quadranten liegt,
ja, das ist logisch
> also den Winkel [mm]-\pi/4[/mm] oder [mm]+7\pi/4[/mm]
> zur x Achse bildet?
ähm? nein, woher kommen denn diese zahlen?
> und die länge [mm]\wurzel{2}[/mm] hat?
ja, das kommt aus der definition des betrags einer komplexen zahl...
> also liegt [mm]1/\wurzel{2}*(1-i)[/mm] auf dem Einheitskreis und
> hat den Winkel [mm]-\pi/4[/mm] zur reellen Achse.
hä? aber ich kann doch nicht (1-i) mit der länge von (1-i) gleichsetzen, oder?
> Du solltest dir angewöhnen, z immer in die Gaussche
> Zahlenebene einzuzeichnen!
> natürlich gehts auch formal mit
> [mm]z=1/\wurzel{2}-i/\wurzel{2}=cos\phi-isin\phi[/mm]
> also [mm]cos\phi=1/\wurzel{2}, sin\phi=-1\\wurzel{2}[/mm]
> und
> daraus folgt auch [mm]\phi=-\pi/4.[/mm]
da ich in der klausur keinen taschenrechner benutzen darf, möchte ich so wenig wie möglich mit sin und cos rumrechnen 
> War das nun die Frage oder geht es um die Wurzel?
ja, darum gings, DANKE
Wäre toll, wenn du (oder jemand anderes) mir da noch weiter helfen könntest
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 24.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn der Punkt auf der Wh liegt, dann muss er doch zur x-Achse den Winkel 45° d.h. im bogenmaß [mm] \pi/4 [/mm] haben, und da er im 4 ten quadranten liegt eben -45° oder +315° entsprich [mm] -\pi/4 [/mm] oder [mm] +\7\pi/4.
[/mm]
die Frage
"hä? aber ich kann doch nicht (1-i) mit der länge von (1-i) gleichsetzen, oder?
natürlich nicht, aber die Länge des ”Pfeils" der z =1-i darstellt ist [mm] \wurzel{2} [/mm] also hat [mm] 1/\wurzel{2}*(1-i) [/mm] die Länge 1 und liegt auf dem einheitskreis.
für die Klausur sollte man sin und cos von 0, 30°,45°,60°,90° bzw [mm] \pi/6,\pi/4,\pi\3 [/mm] wissen und wiedererkennen. das wird immer vorrausgesetzt, am besten man merkt sich das am Einheitskreis!
Gruss leduart
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