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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Matrix A positiv definit ist.
[mm] A=\pmat{4 & -14 & -2 \\ -14 & 65 & 3 \\ -2 & 3 & 3} [/mm] |
Hallo, ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe, der letzte Schritt fehlt mir.
An sich ist mir klar, wie man vorgeht:
Die Matrix A ist positiv definit [mm] \gdw x^{T}Ax [/mm] > 0 für einen n-dimensionalen Vektor x (hier n=3), x [mm] \not= [/mm] 0
Ich rechne also
[mm] \pmat{x_1 & x_2 & x_3}*\pmat{4 & -14 & -2 \\ -14 & 65 & 3 \\ -2 & 3 & 3}*\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm] \pmat{4x_1-14x_2-2x_3 & -14x_1+65x_2+3x_3 & -2x_1+3x_2+3x_3}*\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}, [/mm] also
[mm] 4x_1^2-14x_1x_2-2x_1x_3-14x_1x_2+65x_2^2+3x_2x_3-2x_1x_3+3x_2x_3+3x_3^2
[/mm]
Zusammenfassen ergibt schließlich:
[mm] 4x_1^2-28x_1x_2-4x_1x_3+65x_2^2+6x_2x_3+3x_3^2.
[/mm]
Und nun muss man irgendwie (wahrscheinlich mit binomischen Formeln) umformen, damit man sieht, dass dieser Ausdruck größer 0 ist. Aber ich kriege das nicht hin.
Wie kann man hier nun umformen?
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Hallo dennis2,
> Zeigen Sie, dass die Matrix A positiv definit ist.
>
> [mm]A=\pmat{4 & -14 & -2 \\ -14 & 65 & 3 \\ -2 & 3 & 3}[/mm]
> Hallo,
> ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe, der letzte
> Schritt fehlt mir.
>
> An sich ist mir klar, wie man vorgeht:
>
> Die Matrix A ist positiv definit [mm]\gdw x^{T}Ax[/mm] > 0 für
> einen n-dimensionalen Vektor x (hier n=3), x [mm]\not=[/mm] 0
>
>
> Ich rechne also
>
> [mm]\pmat{x_1 & x_2 & x_3}*\pmat{4 & -14 & -2 \\ -14 & 65 & 3 \\ -2 & 3 & 3}*\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm]
>
> Es ergibt sich:
>
> [mm]\pmat{4x_1-14x_2-2x_3 & -14x_1+65x_2+3x_3 & -2x_1+3x_2+3x_3}*\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3},[/mm]
> also
>
> [mm]4x_1^2-14x_1x_2-2x_1x_3-14x_1x_2+65x_2^2+3x_2x_3-2x_1x_3+3x_2x_3+3x_3^2[/mm]
>
> Zusammenfassen ergibt schließlich:
>
> [mm]4x_1^2-28x_1x_2-4x_1x_3+65x_2^2+6x_2x_3+3x_3^2.[/mm]
>
> Und nun muss man irgendwie (wahrscheinlich mit binomischen
> Formeln) umformen, damit man sieht, dass dieser Ausdruck
> größer 0 ist. Aber ich kriege das nicht hin.
Da liegst Du richtig, daß hier mit Hilfe von
binomischen Formeln umgeformt werden muß.
>
> Wie kann man hier nun umformen?
>
Beginne hier mit dem Binom
[mm]a*x_{1}+b*x_{2}+c*x_{3}[/mm]
Quadrierst Du das Ganze, dann müssen
in dem Ausdruck
[mm]4x_1^2-28x_1x_2-4x_1x_3+65x_2^2+6x_2x_3+3x_3^2-\left(a*x_{1}+b*x_{2}+c*x_{3}\right)^{2}[/mm]
das quadratische Glied [mm]x_{1}^{2}[/mm]
sowie die gemischtquadratischen Glieder [mm]x_{1}x_{2}, \ x_{1}x_{3}[/mm]
nicht mehr vorhanden sein.
Für den Rest wendest Du das selbe Strickmuster an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Leider verstehe ich Deinen Vorschlag nicht.
Kannst Du ihn evtl. etwas konkreter einleiten? |
Das ist so abstrakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ist das so gemeint, dass ich für den Ausdruck [mm] (ax_1+bx_2+cx_3)^2 [/mm] nun passende a,b,c finden muss, damit [mm] 4x_1^2-28x_1x_2-4x_1x_3 [/mm] wegfällt?
Also, wenn ich z.B. [mm] (2x_1+7x_2+x_3)^2 [/mm] nehme, so ist das ja [mm] 4x_1^2+28x_1x_2+4x_1x_3..... [/mm] und bei einer Subtraktion, wie von Dir beschrieben, würden also diese 3 Glieder wegfallen.
Habe ich das richtig verstanden? |
Und dann würde man für den restlichen Ausdruck wieder so vorgehen?
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Hallo dennis2,
> Ist das so gemeint, dass ich für den Ausdruck
> [mm](ax_1+bx_2+cx_3)^2[/mm] nun passende a,b,c finden muss, damit
> [mm]4x_1^2-28x_1x_2-4x_1x_3[/mm] wegfällt?
>
> Also, wenn ich z.B. [mm](2x_1+7x_2+x_3)^2[/mm] nehme, so ist das ja
Hier mußt Du [mm](2x_1\blue{-}7x_2\blue{-}x_3)^2[/mm] nehmen.
Das "-" deshalb, weil die Koeffizienten vor
[mm]x_{1}x_{2}, \ x_{1}x_{3}[/mm] negativ sind.
> [mm]4x_1^2+28x_1x_2+4x_1x_3.....[/mm] und bei einer Subtraktion, wie
> von Dir beschrieben, würden also diese 3 Glieder
> wegfallen.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
Ja, das hast Du richtig verstanden.
> Und dann würde man für den restlichen Ausdruck wieder so
> vorgehen?
Richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Leider will der Groschen nicht fallen.
Ich habe also jetzt schon einen Teil des Ausdrucks ersetzt durch [mm] (2x_1-7x_2-x_3)^2.
[/mm]
Schreibe ich nun [mm] (2x_1-7x_2-x_3)^2+16x_2^2-8x_2x_3+2x_3^2, [/mm] so ist das der anfängliche Term.
Aber hier muss ich ja nun noch irgendwas machen, denn alles ist ja größer Null, bis auf [mm] -8x_2x_3. [/mm] |
Ich habe auch nicht wirklich verstanden, wie das mit der Quadratischen Ergänzung zu machen ist. Ehrlich gesagt... habe ich die bisherige Klammerung einfach geraten.
Das ist eine wirklich schwere Geburt.
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Hallo dennis2,
> Leider will der Groschen nicht fallen.
>
> Ich habe also jetzt schon einen Teil des Ausdrucks ersetzt
> durch [mm](2x_1-7x_2-x_3)^2.[/mm]
>
> Schreibe ich nun [mm](2x_1-7x_2-x_3)^2+16x_2^2-8x_2x_3+2x_3^2,[/mm]
> so ist das der anfängliche Term.
> Aber hier muss ich ja nun noch irgendwas machen, denn
> alles ist ja größer Null, bis auf [mm]-8x_2x_3.[/mm]
> Ich habe auch nicht wirklich verstanden, wie das mit der
> Quadratischen Ergänzung zu machen ist. Ehrlich gesagt...
> habe ich die bisherige Klammerung einfach geraten.
Siehe hier: quadratische Ergänzung
Jetzt mußt auf den Ausdruck
[mm]16x_2^2-8x_2x_3+2x_3^2[/mm]
wieder die quadratische Ergänzung anwenden.
>
> Das ist eine wirklich schwere Geburt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
An dieser Stelle sei mal eine kleine Bemerkung eingeschoben:
DANKE für die Geduld!... 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Quadratische Ergänzung... |
Okay, es ist mir bewusst, dass ich ab hier keine Hilfe mehr erwarten kann, denn es liegt ja an mir, dass ich nun die quadratische Ergänzung verstehe und andwende.
Ich verstehe nur nicht, wie man auf einen solchen Ausdruck die Ergänzung anwenden kann, es kommen ja zwei quadratische Ausdrücke darin vor.
Ich betrachte es mal so:
Wer jetzt noch helfen mag, bereitet mir eine Freude. Aber es ist Luxus..
Wie ist das eigentlich mit Ausdrücken wie [mm] x_1x_2... [/mm] das ist ja schon was Anderes als die einfachen Vorführbeispiele, wo immer nur [mm] a^2, [/mm] b und c auftauchen.
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Hallo dennis2,
> Quadratische Ergänzung...
> Okay, es ist mir bewusst, dass ich ab hier keine Hilfe
> mehr erwarten kann, denn es liegt ja an mir, dass ich nun
> die quadratische Ergänzung verstehe und andwende.
>
> Ich verstehe nur nicht, wie man auf einen solchen Ausdruck
> die Ergänzung anwenden kann, es kommen ja zwei
> quadratische Ausdrücke darin vor.
>
> Ich betrachte es mal so:
>
> Wer jetzt noch helfen mag, bereitet mir eine Freude. Aber
> es ist Luxus..
>
> Wie ist das eigentlich mit Ausdrücken wie [mm]x_1x_2...[/mm] das
> ist ja schon was Anderes als die einfachen
> Vorführbeispiele, wo immer nur [mm]a^2,[/mm] b und c auftauchen.
Ich habe Dir hier ein Beispiel gemacht.
Gruss
MathePower
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Hallo dennis2,
> Leider verstehe ich Deinen Vorschlag nicht.
> Kannst Du ihn evtl. etwas konkreter einleiten?
> Das ist so abstrakt.
Ok.
Ein Beispiel:
Der Ausdruck
[mm]x_{1}^{2}+8*x_{1}*x_{2}+20*x_{2}^{2}[/mm]
ist als Summe von Quadraten zu schreiben.
Dazu wenden wir quadratische Ergänzung an, dann steht da:
[mm]x_{1}^{2}+2*x_{1}*4*x_{2}+4^{2}*x_{2}^{2}-4^{2}*x_{2}^{2}+20*x_{2}^{2}[/mm]
Somit ergibt sich:
[mm]\left(x_{1}+4*x_{2}\right)^{2}-4^{2}*x_{2}^{2}+20*x_{2}^{2}[/mm]
bzw.
.
[mm]\left(x_{1}+4*x_{2}\right)^{2}+4*x_{2}^{2}[/mm]
Damit ist der obige Ausdruck als Summe von Quadraten dargestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 24.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Hier abschließend alles im Überblick.
Aufgabe war es zz., dass die (3 [mm] \times [/mm] 3)- Matrix
[mm] A=\pmat{4 & -14 & -2 \\ -14 & 65 & 3 \\ -2 & 3 & 3} [/mm]
positiv definit ist.
Beweis:
Zur Erinnerung:
A pos. def. [mm] \gdw x^{T}Ax [/mm] > 0 für alle [mm] x=\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0
Man berechne also [mm] \pmat{x_1 & x_2 & x_3}*A*\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}:
[/mm]
Die erste Multiplikation liefert
[mm] \pmat{4x_1-14x_2-2x_3 & -14x_1+65x_2+3x_3 & -2x_1+3x_2+3x_3}*\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3}
[/mm]
und das ergibt schließlich
[mm] 4x_1^2-28x_1x_2-4x_1x_3+65x_2^2+6x_2x_3+3x_3^2. [/mm] [*]
Um zu sehen, dass [*] tatsächlich > 0 ist, muss entsprechend umgeformt werden.
Mit Hilfe zweimaliger quadratischer Ergänzung erhält man:
[*]= [mm] (2x_1-7x_2-x_3)^2+16*(x_2-\bruch{1}{4}x_3)^2+x_3^2.
[/mm]
In diesem Ausdruck ist jeder "Bestandteil" > 0, also auch [*].
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist positiv definit. [mm] \Box
[/mm]
Ich bedanke mich bei MathePower , der mir bei diesem Beweis sehr (!!) geholfen hat. Alleine hätte ich ihn nicht geschafft.
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