positiv definitheit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hallo brauche mal hilfe bei folgendem beweis:Also B ist aus M(mxn,R) und A = [mm] \pmat{ E_{m} & B \\ B^{t} & E_{n}}
[/mm]
Wie kann ich folgern dass aus A ist positiv definit folgt, dass [mm] E_{n} [/mm] - [mm] B^{t}*B [/mm] ist positiv definit?
Hoffe mir kann wer zeigen wie man das hier macht...
danke mikke
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Eine Matrix [mm] (a_{ij})_{i,j\in{1,\ldots,n}} [/mm] ist genau dann positiv definit, wenn jede Teilmatrix [mm] (a_{ij})_{i,j\in{1,\ldots,k}} [/mm] für [mm] k=1,\ldots [/mm] n eine positive Determinante hat.
Edit: Hilft hier glaube ich doch nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Di 06.06.2006 | | Autor: | Arnbert |
Nicht?wie kann ich hier dann zum beweis kommmen?
gruß arnbert
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Hallo und guten Tag,
es ist ja eine symmetrische Matrix positiv definit genau dann, wenn alle Eigenwerte der Matrix positiv sind.
Probieren wir es damit:
(1) Wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] E_n-B^TB [/mm] ist, so ist [mm] 1-\lambda [/mm] Eigenwert von B^TB (durch Hinschreiben der Eigenwert-Eigenschaft).
(2) Betrachten wir Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von A:
[mm] A\cdot \vektor{x\\y} =\vektor{\lambda x\\ \lambda y} [/mm] - wir rechnen die linke Seite aus:
[mm] \vektor{x+By\\ B^Tx+y}=\vektor{\lambda x\\ \lambda y}\:\:\: (\star)
[/mm]
das ergibt zwei Gleichungen:
[mm] \lambda [/mm] x = x+By
[mm] \lambda [/mm] y= B^Tx+y
Lös nun eine der beiden nach y auf und setz das in die andere ein, dann vergleiche das Resultat mit [mm] (\star).
[/mm]
Viel Erfolg,
Mathias
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