potentielle Energie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 So 22.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Die Schwerkraft hat die Form [mm] F(r)=mg(\frac{R}{r})^2. [/mm] R sei der Erdradius und r der Abstand vom Erdmittelpunkt.
Bestimme die potentielle Energie:
[mm] E_{pot}(r)=-\int^{\infty}_{r}F(\rho)d\rho. [/mm] |
Hallo,
eigtl. habe ich mit sowas kein Problem. Was mich nun nur verwirrt ist das [mm] \rho.
[/mm]
Steht das hier für die Dichte? Ich habe das erstmal so angenommen und dann ausgerechnet.
Dann wäre [mm] F(\rho)=gV\rho(R/r)^2.
[/mm]
Und [mm] E_{pot}(r)=[\frac{1}{2} (\rho)^2gV\frac{R^2}{r^2}]^{\infty}_{r}.
[/mm]
Weiter gehts nun nicht, da ich schlecht unendlich einsetzen kann.
Das mit der Dichte kann so nicht stimmen oder?
Mein zweiter Gedanke: Das [mm] \rho [/mm] wird nur anstatt des r geschrieben, damit man besser zwischen der unteren Grenze r und dem Integranden [mm] r=\rho [/mm] unterscheiden kann. Dann kommt man zu:
[mm] E_{pot}(r)=-mg\frac{R^2}{r}. [/mm] Und dies ist dann in der Tat auch von r abhängig.
Ist die letzte Variante richtig? Oder soll das [mm] \rho [/mm] was ganz anderes bedeuten?
Gruß Unk
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Hallo Unk,
da schlägst Du Dich tapfer durch. Und Deine Vermutung ist richtig:
> Die Schwerkraft hat die Form [mm]F(r)=mg(\frac{R}{r})^2.[/mm] R sei
> der Erdradius und r der Abstand vom Erdmittelpunkt.
> Bestimme die potentielle Energie:
> [mm]E_{pot}(r)=-\int^{\infty}_{r}F(\rho)d\rho.[/mm]
> Hallo,
>
> eigtl. habe ich mit sowas kein Problem. Was mich nun nur
> verwirrt ist das [mm]\rho.[/mm]
Das ist erst einmal nur ein griechischer Buchstabe. Wahrscheinlich wurde er wie ein "behauchtes" (aspiriertes) "r" ausgesprochen. Daher die Umschrift mit zusätzlichem h wie in Rhesusaffe, äh, -faktor.
> Steht das hier für die Dichte? Ich habe das erstmal so
> angenommen und dann ausgerechnet.
> Dann wäre [mm]F(\rho)=gV\rho(R/r)^2.[/mm]
> Und [mm]E_{pot}(r)=[\frac{1}{2} (\rho)^2gV\frac{R^2}{r^2}]^{\infty}_{r}.[/mm]
>
> Weiter gehts nun nicht, da ich schlecht unendlich einsetzen
> kann.
> Das mit der Dichte kann so nicht stimmen oder?
Nein, kann es nicht. Überleg doch mal, was die gegebene Formel für die Schwerkraft wohl über die potentielle Energie aussagt. Wieso wird hier überhaupt integriert?
> Mein zweiter Gedanke: Das [mm]\rho[/mm] wird nur anstatt des r
> geschrieben, damit man besser zwischen der unteren Grenze r
> und dem Integranden [mm]r=\rho[/mm] unterscheiden kann. Dann kommt
> man zu:
> [mm]E_{pot}(r)=-mg\frac{R^2}{r}.[/mm] Und dies ist dann in der Tat
> auch von r abhängig.
Das sieht doch besser aus. Auch die reziproke Abhängigkeit von r ist ja plausibel. Andererseits hat die Formel so ihre Schwäche in Nähe zum Erdmittelpunkt. Und wieso ist die potentielle Energie eigentlich immer negativ? Es gilt ja [mm] r\ge{0}, [/mm] und alle anderen Größen sind ebenfalls positiv.
> Ist die letzte Variante richtig? Oder soll das [mm]\rho[/mm] was
> ganz anderes bedeuten?
Nein, das hast Du ganz richtig gedeutet und gerechnet. Genau das kommt raus.
Die Lage des Koordinatensystems hast du ja nicht selbst ausgesucht, und immer nimmt die potentielle Energie bei wachsendem Abstand vom Erdmittelpunkt zu. Ist ja schonmal etwas. 
> Gruß Unk
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 22.11.2009 | | Autor: | Unk |
Ok. Das mit der Dichte macht auch keinen Sinn, weil die Erdanziehungskraft ja von der Entfernung zum Erdmittelpunkt abhängt. Hat mich nur etwas verwirrt mit der Notation.
Aber jetzt nochmal ein anderer Teil:
Man soll nun annehmen, es gibt nur 2 Raumdimensionen. Dann wäre die Schwerkraft von der Form: [mm] F(r)=\frac{mgR}{r}. [/mm] Wenn ich nun die Fluchtgeschwindigkeit v eines Körpers von der Erde berechnen will, brauche ich wieder die potentielle Energie, da gelten muss: [mm] E_{kin}\geq [/mm] V(R).
Muss ich für die potentielle Energie V(r) nun wieder F(r) von r bis [mm] \infty [/mm] integrieren, oder ändert sich was bei 2 Raumdimensionen?
Die kinetische Energie ist doch wieder [mm] \frac{1}{2}mv^2 [/mm] oder?
Gruß Unk
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Hallo!
Dieses Integral ist letztendlich nur eindimensional. Es wird über eine grade Strecke von der Entfernung r bis ins unendliche integriert. Die Anzahl der Dimensionen ist dabei völlig egal (Solange mindestens die eine existiert)
Die Geschwindigkeit ist [mm] $E=1/2m|\vec{v}|^2$, [/mm] hier ist die Dimension von [mm] \vec{v} [/mm] auch egal.
Das neue Kraftgesetz folgt unmittelbar aus den Maxwell-Gleichungen aus [mm] q=\int_{\partial V}E\,dA [/mm] , wo nun aus Volumen mit Oberfläche eine Fläche mit Rand entsteht. Das ist also das einzige, was sich ändert.
Also: Alles OK!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 22.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo!
>
> Dieses Integral ist letztendlich nur eindimensional. Es
> wird über eine grade Strecke von der Entfernung r bis ins
> unendliche integriert. Die Anzahl der Dimensionen ist dabei
> völlig egal (Solange mindestens die eine existiert)
>
> Die Geschwindigkeit ist [mm]E=1/2m|\vec{v}|^2[/mm], hier ist die
> Dimension von [mm]\vec{v}[/mm] auch egal.
>
>
> Das neue Kraftgesetz folgt unmittelbar aus den
> Maxwell-Gleichungen aus [mm]q=\int_{\partial V}E\,dA[/mm] , wo nun
> aus Volumen mit Oberfläche eine Fläche mit Rand entsteht.
> Das ist also das einzige, was sich ändert.
>
>
> Also: Alles OK!
Ich muss also wieder integrieren, also [mm] V(r)=-mgR\int_{r}^{\infty}\frac{1}{\theta}d\theta=-mgR\cdot\mbox{ln}(r).
[/mm]
Wenn ich dann die Fluchtgeschwindigkeit berechne komme ich zu:
[mm] \Leftrightarrow v&>&\sqrt{2gR\mbox{ln}(R)}\\&=&44360,76\frac{m}{s}, [/mm] was mir etwas viel erscheint. Ist das so machbar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ergebnis ist falsch.
wieso hast du [mm] ln(\infty)=0 [/mm] gesetzt?
Ist wirklich die Fluchtgeschw um endgültig der Schwerkraft zu "entkommen" gemeint, oder die sog. 1 te Fluchtgesch. mit der man den Planeten umkreist. in deinem 2 d Fall wird man nie ganz wegkommen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 22.11.2009 | | Autor: | Unk |
Es war wirklich die Fluchtgeschwindigkeit und nicht die 1te kosmische geschwindigkeit gemeint.
Ja du hast Recht, bei dem integral hab ich nicht aufgepasst, aber wenigstens die Stammfunktion scheint mir richtig zu sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber was schliesst du jetzt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 22.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> ja, aber was schliesst du jetzt?
> Gruss leduart
Dann sollte die potentielle Energie gegen unendlich gehen. Dementsprechend kann man sie nicht mit einer kinetischen Energie kompensieren. Also sollte man das Gravitationsfeld der Erde nicht verlassen können.
Richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 22.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber wir sind nicht auf der Erde, sondern in Flatland!![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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