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hi,
ich habe heute das buch analysis I von otto forster fertig durchgearbeitet. es gibt jedoch noch eine sache im buch die mir unklar ist:
es gibt den satz:
f(z):= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n} [/mm] mit [mm] c_{n} [/mm] folge in [mm] \IC [/mm] und a [mm] \in \IC. [/mm] diese reihe konv. für ein [mm] z_1 \in \IC, z_1 \not= [/mm] a. ist dann 0 < r < [mm] |z_1 [/mm] - a|, dann konv. die eihe absolut und glm. (gleichmäßig) auf K(a,r):={z [mm] \in \IC [/mm] : |z-a| [mm] \le [/mm] r}
ok der satz + beweis ist mir klar, nur schließt daraus der autor an mehreren stellen darauf, dass die potenzreihe sogar gleichmäßig auf [mm] K(a,z_1) [/mm] konvergiert, aber ich sehe nicht warum.
beispiel:
für [mm] \alpha \ge [/mm] 0 konvergiert die binom. reihe [mm] (1+x)^{\alpha}= \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha \\ n}x^n [/mm] absolut un glm. auf [-1,1] mit [mm] \vektor{\alpha \\ n}= \produkt_{k=1}^{n} \bruch{\alpha-k+1}{k}
[/mm]
man kann leicht zeigen, dass die reihe für x=1 konvergiert, also wissen wir mit dem satz oben dass für ein 0 < r < 1 die binom reihe auf [-r,r] glm. konvergiert, aber warum für [-1,1]???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Im Reellen genügt die gleichmäßige Konvergenz im Inneren und die Konvergenz in den zwei Randpunkten, damit die gleichmäßige Konvergenz auf dem Abschluss des Intervalls sichergestellt ist.
Im Komplexen geht das nicht so einfach. Dort kann man nicht so einfach von der gleichmäßigen Konvergenz im Inneren der Kreisscheibe auf die gleichmäßige Konvergenz auf der abgeschlossenen Kreisscheibe schließen.
Allerdings ist hier, wie du richtig angemerkt hast, die gleichmäßige Konvergenz im Inneren nicht gewährleistet.
Viele Grüße
Julius
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ich seh da aber ein problem: woher weiß ich, dass die reihe auf (-1,1) glm. konv. wenn die reihe auf [-r,r] für alle 0 < r < 1 glm. konv.? das folgt doch nicht sofort...
2. (komplexes) beispiel:
wir haben eine [mm] 2\pi [/mm] periodische funktion [mm] f:\IR->\IC [/mm] (stetig), wir betrachten also [mm] f|[0,2\pi]. [/mm] seien [mm] c_n [/mm] (n [mm] \in \IZ) [/mm] die fourierkoeff. von f. es gelte: [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}|c_n| [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
für z.B. [mm] x=2\pi [/mm] konv. dann nach dem majorantenkriterium [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx} [/mm] absolut. nach obigem potenzreihensatz konv. also die reihe [mm] a(s):=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}s^n [/mm] glm. auf K(0,r)={s [mm] \in \IC [/mm] : |s| [mm] \le [/mm] r} mit einem 0 < r < 1, und nämlich gegen eine stetige funktion g. was zu zeigen ist aber, dass die fourierreihe von f, also [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx} [/mm] auf ganz [mm] [0,2\pi] [/mm] glm. gegen eine stetige funktion g konv. wenn a(s) auf K(0,1) glm. konv. würde, würde dies daraus folgen, denn dann konv. a(s) insbesondere auf dem rand der einheitskreisscheibe und das ist gerade die fourierreihe von f auf [mm] [0,2\pi]. [/mm] nur warum konv. a(s) glm. auf K(0,1)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Di 19.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, tut mir leid, war ein böser Fehler von mir. ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") Ich lösche es jetzt gleich mal.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Do 21.07.2005 | | Autor: | calabi-yau |
ihr admins könnt die frage auf beantwortet setzen, die 2 beispiele folgen aus einem anderen satz, nämlich aus dem weierstraßkriterium für reihen...
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Hallo calabi-yau,
Warum das für [-1,1] glm. konvergieren soll? Das steht da nicht! Da steht 0 < r < [mm]|z_1[/mm] - a|. Wenn die Reihe für z=1 konvergiert, dafst Du eben nicht r=1 wählen, sondern nur r<1. D.h.: Der Satz sagt nicht, dass die Reihe auf [-1,1] glm. konvergiert. Und auch nicht auf ]-1,1[ = [mm] \bigcup_{r<1} [/mm] [-r,r], sondern nur auf jedem einzelnen Intervall [-r,r].
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 19.07.2005 | | Autor: | calabi-yau |
ja jetzt hast du mein problem verstanden, mir ist klar auf welchen intervallen die potenzreihe nach dem satz glm. konv., nur in beispielen danach (siehe meine posts) meint der autor danach, dass die reihe auch auf dem abschluss glm. konv. und ich frage mich warum...
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