punktweise Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo nochmal.
Ich habe gerade bisschen Schwierigkeiten mit dem Verständnis von punktweise Konvergenz. Ich bringe erstmal unsere Def.:
Sei [mm] f_{n}: [/mm] I [mm] \to \IR [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] heißt punktweise konvergent, wenn die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] I konvergiert. Wir erhalten dann eine Grenzfunktion f: I [mm] \to \IR [/mm] durch [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x), [/mm] x [mm] \in [/mm] I.
So dann haben wir ein Bsp.:
Sei [mm] f_{n}: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR, f_{n}(x)=x^n [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] ist punktweise konvergent gegen f mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0\le x < 1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}
[/mm]
Obwohl jede der Funktionen [mm] f_{n} [/mm] stetig ist, ist die Grenzfunktion f nicht stetig.
Jetzt meine Frage, wie haben die dieses f(x) überhaupt bestimmt??? und ist damit schon gezeigt, das [mm] (f_{n}) [/mm] punktweise konvergiert?
kann auch noch ein zweites Beispiel bringen, was ist nicht so verstanden habe.
Sei [mm] g_{n}:(-1,\infty) \to \IR, g_{n}(x)=\bruch{x^{2n+1}}{1+x^{2n+1}}. [/mm] Die Folge [mm] (g_{n}) [/mm] ist punktweise konvergent gegen g mit
[mm] g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } -1< x < 1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x=1 \\ 1, & \mbox{für} x > 1 \end{cases}
[/mm]
Die Grenzfunktion g: [mm] (-1,\infty) \to \IR [/mm] ist beschränkt, obwohl jede der Funktionen [mm] g_{n} [/mm] unbeschränkt ist.
Wäre nett, wenn mir das mal jemand erklären könnte.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Do 20.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]f_{n}:[/mm] I [mm]\to \IR[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm] Die Folge [mm](f_{n})[/mm] heißt
> punktweise konvergent, wenn die Folge [mm](f_{n})[/mm] für jedes x
> [mm]\in[/mm] I konvergiert. Wir erhalten dann eine Grenzfunktion f:
> I [mm]\to \IR[/mm] durch [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x),[/mm]
> x [mm]\in[/mm] I.
>
> So dann haben wir ein Bsp.:
>
> Sei [mm]f_{n}:[/mm] [0,1] [mm]\to \IR, f_{n}(x)=x^n[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm] Die
> Folge [mm](f_{n})[/mm] ist punktweise konvergent gegen f mit
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0\le x < 1 \\ 1, & \mbox{für } x=1 \end{cases}[/mm]
>
> Obwohl jede der Funktionen [mm]f_{n}[/mm] stetig ist, ist die
> Grenzfunktion f nicht stetig.
>
> Jetzt meine Frage, wie haben die dieses f(x) überhaupt
> bestimmt??? und ist damit schon gezeigt, das [mm](f_{n})[/mm]
> punktweise konvergiert?
Es wurde genau nach Definition gemacht. Du hast deine Funktionenfolge [mm] $f_n(x)$. [/mm] Jetzt willst du deren Grenzfunktion [mm]f(x)[/mm] auf [mm][0,1][/mm] berechnen. Also fängste an, was ist denn [mm]f(0)[/mm]? Nach Definition ist [mm] $$f(0)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(0)=\lim_{n\rightarrow\infty}0^n=0$$ [/mm] Fertig. Was ist [mm]f(1/2)[/mm]?
[mm] $$f(1/2)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(1/2)=\lim_{n\rightarrow\infty}(1/2)^n=0$$ [/mm] Was ist [mm]f(1)[/mm]?
[mm] $$f(1)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(1)=\lim_{n\rightarrow\infty}1^n=1$$ [/mm]
Und so weiter. Das machst du mit allen [mm] $x\in[0,1]$. [/mm] Wenn du dabei jedes mal einen Grenzwert findest, dann sagt man dass die Funktionenfolge (hier auf dem Intervall [mm][0,1][/mm]) punktweise konvergiert. Damit würdest du natürlich nie fertig werden, da du ja unendlich viele Fälle betrachten müsstest, aber da wir Mathematiker sind wissen wir ja, dass [mm] $x^n$ [/mm] für [mm]|x|<1[/mm] gegen [mm]0[/mm] konvergiert und für [mm]x=1[/mm] gegen [mm]1[/mm]. Wir finden also tatsächlich für jedes [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] einen Grenzwert, also ist [mm]f_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf dem Intervall auch wirklich punktweise konvergent. Insgesamt ist die Grenzfunktion also $$f(x)=\begin{cases}{0&\mbox{für }0\le x<1\\1&\mbox{für }x=1\end{cases}$$
Das zweite Beispiel funktioniert völlig analog, es ist immer der gleiche Ansatz, auch wenn es i.A. schwieriger ist den Grenzwert anzugeben.
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