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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:35 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Belleci |
| Aufgabe | Auf [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] betrachte man die quadratische Form
[mm] q(x_1,x_2,x_3):=2x_1^2-2x_2^2+x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3.
[/mm]
Man diagonalisiere q. |
Hallo,
ich sehe mir gerade alte Übungsaufgaben von uns an, eine davon war diese Aufgabe.
Wenn ich mir unseren Lösungsweg ansehe, dann kann ich irgendwie nicht mehr richtig nachvollziehen, was genau dort gemacht wurde.
Unser Lösungsweg:
[mm] q(x_1,x_2,x_3)
[/mm]
[mm] =2x_1^2-2x_2^2+x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3
[/mm]
[mm] =2x_1^2+8x_1x_2-2x_2^2-2x_1x_3+x_3^2
[/mm]
[mm] =2(x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2-x_1x_3+ \bruch{1}{4}x_3-2x_2x_3)-10x_2^2-4x_2x_3+\bruch{1}{2}x_3^2
[/mm]
[mm] =2(x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3)^2-10x_2^2-4x_2x_3+\bruch{1}{2}x_3^2
[/mm]
[mm] =2(x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3)^2-\bruch{1}{10}(100x_2^2-40x_2x_3+400x_3^2)-39\bruch{1}{2}x_3^2
[/mm]
[mm] =2(x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3)^2-\bruch{1}{10}(10x_2-20x_3)^2-39\bruch{1}{2}x_3^2
[/mm]
sei:
[mm] y_1=x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3
[/mm]
[mm] y_2= 10x_2-20x_3
[/mm]
[mm] y_3=x_3
[/mm]
[mm] \Rightarrow q(y_1,y_2,y_3)=2y_1^2-\bruch{1}{10}y_2^2-\bruch{79}{2}y_3^2
[/mm]
Ich sehe leider schon nicht mehr, was vom 2. zum 3. Schritt gemacht wurde. Also als erstes umgestellt und dann??
Vielleicht stehe ich auch einfach total auf der Leitung, aber wäre nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte. (Vielleicht durch kommentieren der einzelnen Schritte?!)
Vielen Dank,
Grüße Belleci
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 05.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi, letztendlich wurde der Faktor 2 ausgeklammert. Kannst ja einmal diesen Faktor wieder mit dem Klammerausdruck multiplizieren und alles wieder zusammenrechnen. Dann steht dort der selbe Ausdruck wie einen Schritt vorher.
Gruß, DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo,
das hatte ich heute morgen auch gemacht, ich sehe aber gerade, dass ich mich dort verrechnet habe. Jetzt stimmts.
Mir sind aber noch ein paar Sachen unklar:
> [mm]q(x_1,x_2,x_3)[/mm]
>
> [mm]=2x_1^2-2x_2^2+x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3[/mm]
>
> [mm]=2x_1^2+8x_1x_2-2x_2^2-2x_1x_3+x_3^2[/mm]
>
> [mm]=2(x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2-x_1x_3+ \bruch{1}{4}x_3-2x_2x_3)-10x_2^2-4x_2x_3+\bruch{1}{2}x_3^2[/mm]
>
Warum wurde hier [mm] 4x_2x_3-4x_2x_3 [/mm] als Null eingefügt? Und bei [mm] x_2^2 [/mm] und [mm] x_3^2 [/mm] wird ja noch etwas aus der Klammer rausgezogen, warum wird das gemacht? Also bei [mm] x_2^2 [/mm] z.B. mit [mm] 2*(4x_2^2)-10x_2^2
[/mm]
> [mm]=2(x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3)^2-10x_2^2-4x_2x_3+\bruch{1}{2}x_3^2[/mm]
>
Wo sind hier in der ersten Klammer die [mm] x_1x_2, x_2x_3 [/mm] bzw. [mm] x_1x_3 [/mm] hin?
> [mm]=2(x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3)^2-\bruch{1}{10}(100x_2^2-40x_2x_3+400x_3^2)-39\bruch{1}{2}x_3^2[/mm]
Woher kommen hier bei [mm] x_3^2 [/mm] die 39??
>
> [mm]=2(x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3)^2-\bruch{1}{10}(10x_2-20x_3)^2-39\bruch{1}{2}x_3^2[/mm]
>
Wo ist [mm] x_2x_3 [/mm] hin?
> sei:
> [mm]y_1=x_1+2x_2+\bruch{1}{2}x_3[/mm]
>
> [mm]y_2= 10x_2-20x_3[/mm]
>
> [mm]y_3=x_3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow q(y_1,y_2,y_3)=2y_1^2-\bruch{1}{10}y_2^2-\bruch{79}{2}y_3^2[/mm]
Wäre nett, wenn da nochmal einer erklären könnte.
Danke,
Grüße Belleci
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 05.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Ziel ist so was wie [mm] ay_1^2+by_2^2+cy_3 [/mm] ^2 zu erhalten
dabei muss [mm] y1=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 [/mm] sein
dazu musst du die bi oder trinomischen Formeln gut beherrschen um deine Ausgangsgleichung umzuformen, Dabei muss man oft eine fehlende quadratische Ergänzung addieren , die man dann wieder subtrahieren muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 05.10.2013 | | Autor: | Belleci |
Hallo,
danke, ich glaube ich habs verstanden.
Ich habe noch eine Frage. Kann es verschiedene Lösungen geben?
Wir hatten in der Übung mal eine quadr. Form, von der wir die Matrix abgelesen und umgeformt haben. Erst eine Zeilenumformung und direkt danach die gleiche Umformung an der jeweiligen Spalte. Also wenn z.B. zur 2. Zeile die erste addiert wurde, dann musste auch zur zweiten Spalte die erste addiert werden.
Dieses Verfahren habe ich jetzt an dieser quadratischen Form ausprobiert. Zum Schluss könnte man ja von der Matrix dann wieder die Form ablesen, aber das würde bei mir hier nicht übereinstimmen?
Danke,
Grüße Belleci
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Hallo,
> Ich habe noch eine Frage. Kann es verschiedene Lösungen
> geben?
> Wir hatten in der Übung mal eine quadr. Form, von der wir
> die Matrix abgelesen und umgeformt haben. Erst eine
> Zeilenumformung und direkt danach die gleiche Umformung an
> der jeweiligen Spalte. Also wenn z.B. zur 2. Zeile die
> erste addiert wurde, dann musste auch zur zweiten Spalte
> die erste addiert werden.
> Dieses Verfahren habe ich jetzt an dieser quadratischen
> Form ausprobiert. Zum Schluss könnte man ja von der Matrix
> dann wieder die Form ablesen, aber das würde bei mir hier
> nicht übereinstimmen?
Es muss nicht genau dieselbe quadratische Form herauskommen.
Allerdings sollten die Vorzeichen vor den Quadraten die gleichen bleiben.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Klassifizierung Quadrik.
Viele Grüße,
Stefan
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