quadratische Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte P(-2/54) und Q(1/12)
Der Scheitel liegt auf y=4.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
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Hallo,
Ich weiss nicht genau wie ich bei dieser Aufgabe weiterkomme.
Ich bin von der Allgemeinen Scheitelpunktform ausgegangen und habe die Punkte sowie den y-Wert des Scheitels =4 eingesetzt( als c)
Und nun komm ich nicht weiter.
Meiner Meinung könnte diese Aufgabe 2 Lösungen haben, also 2 Parabeln (mit unterschiedlicher Streckung/Stauchung)....Nur komm ich rechnerisch nicht drauf...
Freundliche Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/95125,0.html
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000013449&read=1&kat=Schule
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 So 12.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Con182,
bei all diesen Aufgaben ist es wichtig, den richtigen Ansatz zu finden. Bei einer quadratischen Funktion hilft der Ansatz
$$ y = a [mm] x^2 [/mm] + bx + [mm] c\, [/mm] .$$
Hier gibt es drei Unbakannte a, b und c und Du hast genau drei Bedingungen gegeben, die hoffentlich zu einer eindeutigen Lösung führen.
In Deinem Fall weisst Du
$$ y(2) = 54, y(1) = 12 $$ und die dritte Bedingung erfodert das Lösen einer Zwischengleichung. Für diese dritte Bedingung ist nur bekannt, dass der Scheitelwert, also der Teil der Kurve, für den die erste Ableitung 0 ist, bei y = 4 liegt. Den dazugehörigen x-Wert kennst Du jedoch noch nicht.
Der lässt sich aber durch das Wissen, dass es sich um einen Scheitelwert handelt, berechnen.
Was haben wir bisher?
$$ 54 = 4a + 2b + c, 12 = a + b + c$$
Die Ableitung der Gleichung liefert
$$ y' (x) = 2 a x + b $$ und daraus
$$ 2ax + b = 0 $$
Der Scheitelwert befindet sich also an der Stelle [mm] x = - \bruch{-b}{2a} [/mm] und an dieser Stelle ist der y-Wert gleich 4.
$$ 4 = [mm] \bruch{ab^2}{4a^2} [/mm] - [mm] \bruch{b^2}{2a} [/mm] + c $$
Hieraus bekommt man c als Funktion von a und b und das lässt sich wieder in die beiden oberen Gleichungen einsetzen.
Somit müsste man weiterkommen, wobei quadratische Gleichungen auftauchen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo,
erstmal Danke für Ihre Mühe.
Leider haben wir Ableitungen und ähnliches noch nicht durchgenommen. Wir müssen die Aufgabe erstmal mit "einfachen" mitteln lösen. Ich schreib Ihnen den Lösungsansatz den ich bisher habe auf.
Punkte jeweils in die allgemeine Scheitelpunktform für quadratische Funktionen:
y=a(x+b)²+c
Da das c glewich dem y-Wert des Scheitels ist, ist c=4
P: 54=a(-2+b)² +4 |-4
50=a(-2+b)² (1)
Q: 12=a(1+b)²+4 |-4
8=a(1+b)² (2)
So, nun habe ich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten a+b!
Und jetzt komm ich nicht weiter, weiss nicht wie ich das a oder b eliminieren soll.....
Wenn ich weiterhin von der Annahme ausgehe, das ich 2 Lösungsgleichungen erhalten kann, müsste ich ja irgendwie auf eine quadratische Gleichung kommen und 2 Ergebnisse für (wahrscheinlich b) erhalten, oder?
Verstehen Sie die Lösungsansätze eines BKFH-Schülers?*g*
Freundliche Grüße und nochmal Danke.
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 So 12.11.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo con128,
wenn man von dieser Form ausgeht, so ist das nächstliegende, das mir einfällt, beide Gleichungen durcheinander zu teilen, wodurch das a verschwindet und man eine quadratische Gleichung für b erhält. Wenn ich mich jetzt nicht schnell auf einem Blatt Papier verrechnet habe, so bekommt man jedoch für b komplexe Lösungen heraus, was absolut nicht zur Aufgabenstellung passt.
Dies nährt in mir den Verdacht, dass die Gleichungen so noch nicht stimmen, aber das muss ich erst noch mal genauer nachrechnen.
Die Sache bleibt spannend.
Bis demnächst,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Ja, die Aufgabe bleibt spannend, ich hab bestimmt schon 10 mal auf verschiedenste Wege rumgerechnet, aber komm auf keine Lösung....
Vielleicht fällt ja jemand was ein....
Vielen dank und
Freundliche Grüße
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 12.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin chris,
also meine ideen zu der aufgabe:
[mm] y=ax^2 [/mm] +bx + c
P in die Gleichung einsetzen:
54 = [mm] a*(-2)^2 [/mm] +b*(-2) +c
Q in die Gleichung einsetzen:
12 = [mm] a*(1)^2+b*1 [/mm] + c
54=4a-2b+c
12=a+b+c
tschuldigung, es kann nicht sein, dass ihr in der 12. klasse noch nichts von differentialrechnung gehört habt. deswegen wäre die einfachste lösung mithilfe der 1. ableitung
y'(x)=2ax +b
am scheitelpunkt ist die steigung gleich null, daher gilt:
[mm] 0=2ax_{s} [/mm] + b
[mm] x_{s}=- \bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] 4=ax_{s}^2 [/mm] + [mm] bx_{s} [/mm] +c
4=a*(- [mm] \bruch{b}{2a})^2 [/mm] +b*(- [mm] \bruch{b}{2a}) [/mm] + c
4= [mm] \bruch{b^2}{4a} [/mm] - [mm] \bruch{b^2}{2a} [/mm] + c
4= - [mm] \bruch{b^2}{4a} [/mm] + c
nun hast du drei gleichungen mit drei unbekannten.
12=a+b+c => a= 12-b-c
54=4a-2b+c => 54= 4*(12-b-c)-2b+c
6=-6b-3c
2=-2b-c
c=-2b-2
4= - [mm] \bruch{b^2}{4a} [/mm] + c => 4= - [mm] \bruch{b^2}{4*(12-b-c)} [/mm] + c
4= - [mm] \bruch{b^2}{4*(12-b-(-2b-2))} [/mm] + (-2b-2)
4= - [mm] \bruch{b^2}{4*(12-b-(-2b-2))} [/mm] + (-2b-2)
:
zwei lösungen für b [also gibt es zwei parabeln!]
[mm] b_1{1}=-12 c_{1}=22 a_{1}=2
[/mm]
[mm] b_1{2}=- \bruch{28}{9} c_{2}= \bruch{38}{9} a_{2}=\bruch{98}{9}
[/mm]
gruß
wolfgang
p.s. tipp, zeichne doch mal die beiden parabeln!
probe für
y= [mm] 2x^2 [/mm] -12x +22
x=1 ergibt y=12
x=-2 ergibt y=54
scheitelpunktform:
[mm] y=2x^2 [/mm] -12x + 22
y= [mm] 2*(x^2 [/mm] -6x +11)
y= [mm] 2*(x^2 [/mm] -2*x*3 [mm] +3^2 -3^2 [/mm] +11)
y= 2*( [mm] (x-3)^2 [/mm] +2)
y= [mm] 2*(x-3)^2 [/mm] +4 hier kann man den scheitelpunkt sofort ablesen (ohne rechnen zu müssen), nämlich: [mm] x_{s}=3 [/mm] und [mm] y_{s}=4
[/mm]
bon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo Wolfgang,
Ich bin nicht direkt in der 12. Klasse, sondern auf dem BKFH für die Fachhochschulreife....Deshalb haben wir bisher noch keine Differentialrechnung gehabt, wir sollen es mit "einfachen" mitteln lösen.
Ich steck jetzt bei folgendem Punkt fest:
Hab P,Q in y=a(x+b)²+c eingesetzt, also die Scheitelpunktform.
Für das c (Also Ordinate des Scheitels) habe ich 4 eingesetzt.
Das ganze sieht dann so aus....
P: 54=a(-2+b)² +4 |-4
50=a(-2+b)² (1)
Q: 12=a(1+b)²+4 |-4
8=a(1+b)² (2)
Hier komm ich nicht weiter.Vielleicht bin ich auch nur zu dumm 
Freundliche Grüße
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 So 12.11.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Chris,
> Hallo Wolfgang,
>
> Ich bin nicht direkt in der 12. Klasse, sondern auf dem
> BKFH für die Fachhochschulreife....Deshalb haben wir bisher
> noch keine Differentialrechnung gehabt, wir sollen es mit
> "einfachen" mitteln lösen.
> Ich steck jetzt bei folgendem Punkt fest:
> Hab P,Q in y=a(x+b)²+c eingesetzt, also die
> Scheitelpunktform.
> Für das c (Also Ordinate des Scheitels) habe ich 4
> eingesetzt.
> Das ganze sieht dann so aus....
>
> P: 54=a(-2+b)² +4 |-4
> 50=a(-2+b)² (1)
>
> Q: 12=a(1+b)²+4 |-4
> 8=a(1+b)² (2)
>
Ich greife nochmal den Vorschlag von Infinit auf:
Dividiere die beiden Gleichungen
$ [mm] \bruch{a(-2+b)²}{a(1+b)²} [/mm] = [mm] \bruch{50}{8} [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{(-2+b)²}{(1+b)^2} [/mm] = [mm] \bruch{25}{4} [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{-2+b}{1+b} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2} \vee \bruch{-2+b}{1+b} [/mm] = -\ [mm] \bruch{5}{2}$
[/mm]
Jetzt kommst du sicher weiter.
> Hier komm ich nicht weiter.Vielleicht bin ich auch nur zu
> dumm
Nee! Du bist nur nicht gewohnt, dieses Verfahren anzuwenden.
Einen schönen Sonntag
Sigrid
>
> Freundliche Grüße
> Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 So 12.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin chris,
das ist schlau!! dann hast du ja nur noch zwei gleichungen mit zwei unbekannten.
wenn du die gleichungen nicht durch einander teilen willst (warum machtman das eigentlich?), dann löst du einfach eine gleichung nach a auf und setzt das ergebnis in die andere gleichung ein.
dann erhältst du b und a usw.
lg
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo und vielen Dank,
hab die Wurzel nicht gezogen *g*
Ich glaub ich habs, deshalb die alles entscheidende Frage:
Sind die Lösungen:
y=2(x-3)²+4 und
y=10 8/9(x-1/7)²+4 ????
Dann hat alles wunderbar geklappt.
Freut mich
Freundliche Grüße
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Hallo Con182,
> Hallo und vielen Dank,
>
> hab die Wurzel nicht gezogen *g*
>
> Ich glaub ich habs, deshalb die alles entscheidende Frage:
>
> Sind die Lösungen:
>
> y=2(x-3)²+4 und
> y=10 8/9(x-1/7)²+4 ????
> Dann hat alles wunderbar geklappt.
Was sollen denn dies für Lösungen sein?
Ich dachte, du suchst eine Parabel mit bestimmten Eigenschaften?! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Könntest du bitte mal zusammenfassen, wie du gerechnet hast?
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ich habe die beiden Parabeln mal gezeichnet: es gibt tatsächlich zwei Parabeln und sie erfüllen die gegebenen Bedingungen.
Du bist also fertig.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 12.11.2006 | | Autor: | Con182 |
Hallo,
wie ich gerechnet habe?
Ich bin von der allgemeinen Scheitelpunktform ausgegangen.
y=a(x+b)²+c c=4 da die Ordinate des Scheitels
Dann hab ich P und Q eingesetzt, und beide Gleichungen dividiert.So hab ich eine Gleichung bekommen aus der ich die Wurzel ziehen konnte.
Dann hab ich beide b´s ausgerechnet, diese dann eingesetzt und die a´s
ausgerechnet. Und dann die beiden Endgleichungen aufgestellt.
Bin echt dankbar für die Hilfe von allen
Freundliche Grüße nach Viernheim
Chris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 So 12.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin chris,
> Sind die Lösungen:
>
> y=2(x-3)²+4 und
> y=10 8/9(x-1/7)²+4 ????
völlig korrekt... (genau das sagt auch meine lösung; 10 8/9 = [mm] \bruch{98}{9} [/mm] usw. s.o.)
es führen viele wege nach rom 
gruß
wolfgang
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