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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | a) Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine inverse Matrix.Begründen Sie,warum die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & -6 } [/mm] keine Inverse besitzt.
b) Begründen Sie: Falls eine quadratische Matrix eine Inverse besitzt,so ist diese eindeutig.Eine quadratische Matrix kann also höchstens eine Inverse besitzen.
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Guten morgen allerseits^^
Ich finde bei diesen beiden Aufgaben keinen richtigen Ansatz.
Also bei der a) kann ich mir vorstellen,dass es bestimmt Matrizen gibt,die keine Inverse haben,das liegt wahrscheinlich an den Komponenten.Aber eine richtige Begründung dafür weiß ich nicht.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Und bei der b) hab ich mir das so gedacht: Mann kann ja eine quadratische Matrix als ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen aufschreiben.Dieses Gleichungssystem muss aber eindeutig lösbar sein,daher gibt es nur eine Inverse.Kann man das so sagen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> a) Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine inverse
> Matrix.Begründen Sie,warum die Matrix [mm]A=\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & -6 }[/mm]
> keine Inverse besitzt.
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> b) Begründen Sie: Falls eine quadratische Matrix eine
> Inverse besitzt,so ist diese eindeutig.Eine quadratische
> Matrix kann also höchstens eine Inverse besitzen.
>
> Guten morgen allerseits^^
>
> Ich finde bei diesen beiden Aufgaben keinen richtigen
> Ansatz.
> Also bei der a) kann ich mir vorstellen,dass es bestimmt
> Matrizen gibt,die keine Inverse haben,das liegt
> wahrscheinlich an den Komponenten.Aber eine richtige
> Begründung dafür weiß ich nicht.
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Wie habt ihr denn "inverse Matrix" definiert?
Es gibt viele Wege. Zum einen über die Determinante:
Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante [mm] \neq [/mm] 0 ist
Andere Möglichkeit:
Wenn $A$ invertierbar wäre, so gäbe es eine Matrix [mm] $B=\pmat{b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}}$ [/mm] mit [mm] $A\cdot{}B=B\cdot{}A=\mathbb{E}_2$ ($2\times [/mm] 2$-Einheitsmatrix)
Das führt mittels Koeffizientenvergleich auf ein Gleichungssystem für die [mm] $b_{ij}$. [/mm] Ist das lösbar?
Noch ein Weg, sehr elementar:
Eine Matrix $A$ ist invertierbar, wenn du sie durch elementare Zeilenumformungen (Gaußalgorithmus) in die Einheitsmatrix überführen kannst.
Klappt das mit der gegebenen Matrix?
>
> Und bei der b) hab ich mir das so gedacht: Mann kann ja
> eine quadratische Matrix als ein Gleichungssystem mit 2
> Gleichungen und 2 Variablen aufschreiben.
Wieso das? Ich meine, dass man für eine [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix bereits 4 Gleichungen erhält ...
> Dieses Gleichungssystem muss aber eindeutig lösbar sein,daher
> gibt es nur eine Inverse.Kann man das so sagen?
Das müsste es, ja, aber das ist ja zu zeigen (und für den allg. Fall!)
Nimm mal an, $A$ sei eine quadratische Matrix, die zwei Inverse $B$ und $B'$ besäße.
Dann zeige, dass $B=B'$ gilt:
Bedenke, dass gilt [mm] $A\cdot{}B=B\cdot{}A=\mathbb{E}$ [/mm] und
[mm] $A\cdot{}B'=B'\cdot{}A=\mathbb{E}$
[/mm]
Dann beginne so:
[mm] $B=\mathbb{E}\cdot{}B=(A\cdot{}B')\cdot{}B=\ldots=B'$
[/mm]
> Vielen Dank
Gruß
schachuzipus
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Do 18.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
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> > Und bei der b) hab ich mir das so gedacht: Mann kann ja
> > eine quadratische Matrix als ein Gleichungssystem mit 2
> > Gleichungen und 2 Variablen aufschreiben.
>
> Wieso das? Ich meine, dass man für eine [mm]2\times 2[/mm]-Matrix
> bereits 4 Gleichungen erhält ...
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> > Dieses Gleichungssystem muss aber eindeutig lösbar
> sein,daher
> > gibt es nur eine Inverse.Kann man das so sagen?
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> Das müsste es, ja, aber das ist ja zu zeigen (und für den
> allg. Fall!)
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> Nimm mal an, [mm]A[/mm] sei eine quadratische Matrix, die zwei
> Inverse [mm]B[/mm] und [mm]B'[/mm] besäße.
>
> Dann zeige, dass [mm]B=B'[/mm] gilt:
>
> Bedenke, dass gilt [mm]A\cdot{}B=B\cdot{}A=\mathbb{E}[/mm] und
>
> [mm]A\cdot{}B'=B'\cdot{}A=\mathbb{E}[/mm]
>
> Dann beginne so:
>
> [mm]B=\mathbb{E}\cdot{}B=(A\cdot{}B')\cdot{}B=\ldots=B'[/mm]
Ok,danke.
Kann ich das dann so weitermachen?
[mm][mm] B=\mathbb{E}\cdot{}B=(A\cdot{}B')\cdot{}B=A*B*B'=\mathbb{E}*B'=B' [/mm] ?
> > Vielen Dank
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> >
> > lg
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Hallo nochmal,
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> Ok,danke.
> Kann ich das dann so weitermachen?
>
> [mm] $B=\mathbb{E}\cdot{}B=(A\cdot{}B')\cdot{}B\red{=}A*B*B'=\mathbb{E}*B'=B'$ [/mm] ?
Nein, so geht das nicht.
Wie begründest du das rote [mm] $\red{=}$ [/mm] ?
Wieso sollte [mm] $B'\cdot{}B=B\cdot{}B'$ [/mm] sein?
Die Matrixmultiplikation ist i.A. nicht kommutativ.
Wohl aber ist sie assoziativ, und es gelten die beiden Gleichungen, die ich oben hingeschrieben habe.
Nutze die und du bist sehr schnell am Ziel...
Und zitiere bitte ökonomischer, alles, was du nicht brauchst, lösche weg, sonst wird's sehr unübersichtlich!
> > Vielen Dank
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Do 18.03.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
zu a):
mir fiel auf,
daß z.B. die zweite Zeile das (-2)-fache der ersten Zeile ist.
Mit anderen Worten: die erste und die zweite Zeile sind linear abhängig.
Matrizen mit linear abhängigen Spalten und/oder Zeilen haben keine Inverse.
Schönen Gruß
Karsten
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