quadratische Matrix rk(A)=n-1 < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:06 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sei eine quadratische Matrix A [mm] \in R^{n,n}. [/mm] weiterhin sei bekannt, dass rk(A)=n-1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch?
a) Die Spalten von A sind ein Erzeugendensystem des [mm] R^n [/mm]
b) Die Zeilen von A sind linear abhängig.
c) Der Spaltenraum von A muss eine Teilmenge des [mm] R^{n-1} [/mm] sein.
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Moin,
wiederum bin ich mir nicht im Klaren, was stimmt.
ich habe:
a) richtig.
b) falsch; richtig wären: die Spalten(vektoren) sind linear abhängig.
c) richtig.
kann das jemand bestätigen / begründen / widerlegen?
danke und gruß
wolfgang
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Hallo hase-hh!
> Gegeben sei eine quadratische Matrix A [mm]\in R^{n,n}.[/mm]
> weiterhin sei bekannt, dass rk(A)=n-1. Welche der folgenden
> Aussagen sind richtig bzw. falsch?
Mit rk(A) meinst du den Rang von A, oder? Den bezeichnet man meines Wissens meistens mit rang(A) oder rg(A) - rk(A) hab ich noch nie gesehen...
> a) Die Spalten von A sind ein Erzeugendensystem des [mm]R^n[/mm]
> b) Die Zeilen von A sind linear abhängig.
> c) Der Spaltenraum von A muss eine Teilmenge des [mm]R^{n-1}[/mm]
> sein.
>
> Moin,
>
> wiederum bin ich mir nicht im Klaren, was stimmt.
> ich habe:
>
> a) richtig.
> b) falsch; richtig wären: die Spalten(vektoren) sind
> linear abhängig.
> c) richtig.
>
> kann das jemand bestätigen / begründen / widerlegen?
Was sind denn deine Begründungen für deine Antworten?
Was bedeutet es denn, wenn der Rang der Matrix =n-1 ist? Was ist denn der Rang? Das sind doch die maximal linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten einer Matrix. Und wenn es davon nur n-1 gibt, kann das Ganze doch kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^n [/mm] sein, dafür bräuchtest du doch mindestens n Vektoren!
Kann es sein, dass die Spalten linear abhängig sind und die Zeilen nicht? Guck dir nochmal die Definition des Rangs an - insbesondere: Zeilenrang=Spaltenrang.
c) würde ich auch so sagen, bin mir aber nicht 100pro sicher...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 27.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
hallo,
erstaml vielen dank. also wenn ich es wüßte, würde ich nicht so doof fragen.
richtig ist, rk habe das dem aufgabenblatt entnommen, und dass dort rang mit rk - vermutlich von englisch rank - abgekürzt ist.
der rang einer matrix sind die max. linear unabhängigen spalten bzw. zeilen bzw. vektoren.
also, wenn ich das richtig verstehe meinst du
a) falsch
jetzt frage ich mich, ein erzeugendensystem kann linear abhängige vektoren enthalten; also warum nicht ein erzeugendensystem des [mm] R^n?
[/mm]
b) falsch (egal ob zeilen oder spalten)
c) fragezeichen
und die fragezeichen habe ich auch!
gruß
wolfgang
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Hallo hase-hh!
> erstaml vielen dank. also wenn ich es wüßte, würde ich
> nicht so doof fragen.
Guck dir doch mal ganz genau die Definitionen an und überlege, was genau das bedeutet!
> a) falsch
> jetzt frage ich mich, ein erzeugendensystem kann linear
> abhängige vektoren enthalten; also warum nicht ein
> erzeugendensystem des [mm]R^n?[/mm]
Was ist denn ein Erzeugendensystem? Ein Erzeugendensystem erzeugt doch den ganzen Raum, und um den [mm] \IR^n [/mm] zu erzeugen brauchst du mindestens n Vektoren. Wären diese n Vektoren auch noch linear unabhängig, dann wäre es eine Basis. Aber ein Erzeugendensystem kann niemals weniger Vektoren enthalten als eine Basis (denn nach einer von vielen "Definitionen" einer Basis ist diese ein "minimales Erzeugendensystem"), und eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] hat genau n Vektoren.
> b) falsch (egal ob zeilen oder spalten)
Nein - die Aussage ist richtig!!!
Wenn maximal (n-1) Zeilen (oder von mir aus auch Spalten) linear unabhängig sind (das genau sagt doch der Rang), dann ist natürlich alles, was auch nur eins mehr ist, linear abhängig! Deswegen kannst du ja auch eine Basis z. B. nicht vergrößern, weil eine Basis immer nur aus linear unabhängigen Vektoren besteht, und wenn du auch nur einen dazu tun würdest, wären sie linear abhängig, weil eine Basis eben aus genau maximal vielen linear unabhängigen Vektoren besteht.
Ich weiß nicht, ob das hilft, dass ich jetzt noch die Basis mit reingebracht habe, aber ich weiß nicht, wie ich das anders erklären soll...
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 29.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Fr 09.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
die Aussage c) "Der Spaltenraum von A muss eine Teilmenge des [mm] R^{n-1} [/mm] sein" stimmt, da rk(A) bzw. rg(A)=n-1.
richtig?
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:24 Sa 10.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Spalten spannen EINEN n-1 dimensionalen Unterraum auf.
wenn man unter [mm] R^{n-1} [/mm] den Raum versteht indem eine Koordinate 0 ist, also z.Bsp. im [mm] R^2 [/mm] =x-y 0der x-z, oder y-z Ebene, dann ist der Spaltenraum keine Teilmenge. so wuerde ich das aufschreiben.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 09:00 Sa 10.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin leduart,
wie ist das gemeint - ist die xy-Ebene eine Teilmenge des [mm] R^2 [/mm] und der Spaltenraum enthält nicht alle Punkte der Ebene,
oder ist die xy-Ebene keine Teilmenge des [mm] R^2? [/mm]
was wäre denn dann eine Teilmenge des [mm] R^2?
[/mm]
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mo 12.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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