quadratische formen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Sa 29.10.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi...
ich hab bezgl. quadratischer formen, zu folgenden schreibweisen, eien frage:
also, eine symmetrische bilinearform ist ja eine quadratische form. wie ich mir das vorzustellen hab weiß ich. ich tu mich nur bei den folgenden def. etwas schwer.
"sei b(v,w) symmetrische bilinearform
dann Q(v):=b(v,v) liefert Abb.Q:V->K
Q nicht mehr linear, sondern qadratisch: Q(av)=a^2Q(v) für alle a aus K.
nicht mehr additiv sondern Q(v+w)=b(v+v,v+w)=b(v,v)+b(w,w)+b(v,w)+b(w,v)=Q(v)+Q(w)+2b(v,v)"
dann naoch folg. def:
V sei ein K.V. R. eine quadratische form auf V ist eien Abb. q: V-->K mit den zwei eigenschaften
(1)q(av)=a^2q(v) für alle a aus k, v aus V
(2)B(v,v):=q(v+v)-q(v)-q(w)
ich weiß nun, wie ich mir ne quadratische form vorzustellen habe ( zb. in matrixschreibweise : (x,y) [mm] \pmat{ a & b \\ b & d } \vektor{x \\ y}=ax^{2}+2bxy+dy^{2} [/mm] )
aber ich kann die definitionen von oben, nicht wirklich in dem beispiel wiederfinden. wäre nett, wenn mir jemand. das erklären könnte.
viele grüße benno
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Hallo Benno,
ich bins nochmal:
> also, eine symmetrische bilinearform ist ja eine
> quadratische form.
Nein: eine Bilinearform definiert eine quadratische Form, wie Du's unten beschrieben mit b und Q hast:
> "sei b(v,w) symmetrische bilinearform
> dann Q(v):=b(v,v) liefert Abb.Q:V->K
> Q nicht mehr linear, sondern qadratisch: Q(av)=a^2Q(v) für
> alle a aus K.
> nicht mehr additiv sondern
> Q(v+w)=b(v+v,v+w)=b(v,v)+b(w,w)+b(v,w)+b(w,v)=Q(v)+Q(w)+2b(v,v)"
Die Eigenschaften von Q folgen direkt aus der Lineaarität von b.
> dann naoch folg. def:
> V sei ein K.V. R. eine quadratische form auf V ist eien
> Abb. q: V-->K mit den zwei eigenschaften
> (1)q(av)=a^2q(v) für alle a aus k, v aus V
> (2)B(v,v):=q(v+v)-q(v)-q(w)
Da muss ein Druckfehler oder irgendsowas drin sein, soll das heißen:
(2) b(v,w):=q(v+w)-q(v)-q(w) ?
d.h.: Du definierst eine Bilinearform mit einem q, dass dann seinerseits im Rückschluss quadratisch sein muss (wenn b tatsächlich bilinear ist)?
Dann habe ich so meine Bedenken. Ein Norm-Quadrat ist z.B. ein Spezialfall von Quadratischer Form, die durch ein Skalarprodukt (bilinear) induziert wird. Die Umkehrung gilt aber nur, wenn die Parallelogrammgleichung (so heißt sie glaube ich) erfüllt ist.
Zu Punkt 2 müsstest Du also noch mehr sagen...
> ich weiß nun, wie ich mir ne quadratische form vorzustellen
> habe ( zb. in matrixschreibweise : (x,y) [mm]\pmat{ a & b \\ b & d } \vektor{x \\ y}=ax^{2}+2bxy+dy^{2}[/mm]
> )
> aber ich kann die definitionen von oben, nicht wirklich in
> dem beispiel wiederfinden.
Du kannst mit dieser Matrixschreibweise eine Bilinearform definieren
[mm] b(\vektor{u \\ v},\vektor{x \\ y}) [/mm] := (u,v) [mm]\pmat{ a & b \\ b & d } \vektor{x \\ y}[/mm]
oder allgem. zu jeder symmetrischen Matrix A eine symmetr. Bilinearform
b(r,s) = [mm] r^{t} [/mm] A s mit r, s [mm] \in [/mm] V;
und umgekehrt zu jeder Bilinearform eine Matrix finden, die sie definiert (zu einer gegebenen Basis Gleichungssystem aufstellen). Die zugehörigen Quadratischen ergeben sich dann automatisch.
Grüße, Richard
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