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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Fr 14.01.2005 | | Autor: | icke85 |
schön das du reinschaust ich danke dir ,
also :
die funktion lautet f(x) = [mm] \bruch{x^{2}+2x-3}{x^{2}+x-2} [/mm] ; x e Df
bestimmen soll man Df- bereich, [mm] x_{0} [/mm] stellen,asymptoten, grenzwerte , näherungsverhalten und eine stetige fortsetzung f mit deren Df- bereich!
ich hab rausbekommen :
Df-bereich : L= [mm] \{-2 ; 1 \}
[/mm]
nullstellen : [mm] x_{0} [/mm] = -3
limes : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] =1 ,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} =\bruch{-2}{-1} [/mm] funktion hat dort ein loch (ich hab funktion faktorisiert und gekürzt , für die übrigen x hab ich die 1 vom definitionsbereich genommen weil ja x+2 = [mm] x_{p}-2
[/mm]
polstelle : = -2
stetige fortsetzung f(x)= [mm] \bruch{x+3}{x+2} [/mm] ??? Df-bereich ???
liege ich richtig bisher ?
wenn ja kann ich mir das jetzt zwar alles ins koordinatensystem übertragen und weiss aber nun nicht mehr weiter wie ich den graphen einzeichnen kann !
ich bräuchte nun eine logische schritt für schritt erklärung
(das näherungsverhalten), die sogar ich verstehe !
hoffe icke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Sa 15.01.2005 | | Autor: | dominik |
Ja, bis jetzt ist alles richtig, weil Du Zähler und Nenner faktorisert hast:
f(x) = [mm]\bruch{x^{2}+2x-3}{x^{2}+x-2}=\bruch{(x+3)*(x-1)}{(x+2)*(x-1)}[/mm]
kürzen kann man nur unter der Bedingung, dass [mm]x-1 \not=0[/mm]
Damit hat die Funktion eine (behebbare) Definitionslücke bei [mm]L(1/ \bruch{3}{4})[/mm]
> ich hab rausbekommen :
>
> Df-bereich : L= [mm][mm] \{-2 ; 1 \} [/mm] Du meinst: [mm]D= \IR- \{-2,1\}?[/mm]
> nullstellen : [mm]x_{0}[/mm] = -3 ja!
> limes : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] =1 , ja! Dies gibt eine waagrechte Asymptote im Abstand 1 von der x-Achse.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} =\bruch{-2}{-1}[/mm] das verstehe ich jedoch nicht ...
funktion hat
> dort ein loch (ich hab funktion faktorisiert und gekürzt ,
> für die übrigen x hab ich die 1 vom definitionsbereich
> genommen weil ja x+2 = [mm]x_{p}-2
[/mm]
> polstelle : = -2
> stetige fortsetzung f(x)= [mm]\bruch{x+3}{x+2}[/mm] ??? Df-bereich
> ???
>
> liege ich richtig bisher ? Ja natürlich. Es kommt eine kleine Kurvendiskussion für f(x)= [mm]\bruch{x+3}{x+2}[/mm]:
Nullstelle wie oben, limes =1, senkrechte Asymptote: x=-2
>
> wenn ja kann ich mir das jetzt zwar alles ins
> koordinatensystem übertragen und weiss aber nun nicht mehr
> weiter wie ich den graphen einzeichnen kann !
Kurve einzeichnen:
Zuerst würde ich die beiden Asymptoten einzeichnen: Im Koordinatensystem eine Parallele zur x-Achse im Abstand +1 (oberhalb der x-Achse) und eine Parallele zur y-Achse im Abstand -2 (links von der y-Achse). Beide Asymptoten bilden ein Kreuz; sie treffen sich im Punkt (-2/1).Anschliessend kommt die Nullstelle bei -3 zu liegen.
Der Graf kommt jetzt von links aussen, unterhalb der waagrechten Asymptote, schneidet bei x=-3 die x-Achse, krümmt sich (!) nach unten und nähert sich der senkrechten Asymptote von links und geht ins Unendliche nach unten.
Auf der andern Seite der Asymptote kommt der Graf vom Unendlichen oben, schneidet die y-Achse bei 1.5 (dort ist ja x=0) und nähert sich von oben der waagrechten Asymptote und verschwindet schliesslich nach rechts, immer oberhalb der Asymptote, aber immer näher daran ...
Hoffentlich kommst Du da noch mit!
Vilee Grüsse
dominik
> ich bräuchte nun eine logische schritt für schritt
> erklärung
> (das näherungsverhalten), die sogar ich verstehe !
>
> hoffe icke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 15.01.2005 | | Autor: | icke85 |
danke für die schnelle antwort , ich hab auch verstanden wie jetzt der graph verläuft , weiss aber noch immer nicht wie ich selber feststellen kann wie der graph verläuft ? da muss es doch nen verfahren oder eine logische verkettung oder sowas geben um sich das selbst hinzubasteln !
und dann noch diese "behebbare" definitionslücke ? diesen begriff hab ich schon mal gehört und frage mich wie man auf [mm] L(1/\bruch{3}{4}) [/mm] kommt ?
frage icke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Sa 15.01.2005 | | Autor: | dominik |
Zur Definitionslücke:
f(x)= [mm] \bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}= \bruch{(x+3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}
[/mm]
Nun gibt es die Werte [mm]x=1[/mm] und [mm]x=-2[/mm], wofür f nicht definiert ist: [mm]D= \IR \setminus \{-2,1\}[/mm].
Diese beiden Werte unterscheiden sich zusätzlich voneinander: Während an der Stelle x=1 die Kurve lediglich ein "Loch" hat, eben eine Lücke, hat sie für x=-2 einen Pol. Die erste Situation ist "behebbar", das heisst, man kann die Lücke schliessen, indem man einfach zusätzlich den Punkt "einsetzt" und definiert, dass [mm]f(1)= \bruch{3}{4}[/mm]; dies geht an der andern Stelle nicht, da der Graf einen "Sprung" macht von [mm]- \infty[/mm] zu [mm]+\infty[/mm].
Wie erhalten wir die Koordinaten der Lücke? Wir bestimmen den Grenzwert von f, wenn x gegen 1 strebt. Aus der Definition des Grenzwertes wissen wir, dass der Wert 1 nie erreicht wird; damit lässt sich der Term problemlos mit x-1 kürzen:
[mm] \limes_{n\rightarrow1}f(x)= \limes_{n\rightarrow1} \bruch{x^2+2x-3}{x^2+x-2}=\limes_{n\rightarrow1}\bruch{(x+3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\limes_{n\rightarrow1}\bruch{(x+3)}{(x+2)}=\bruch{(1+3)}{(1+2)}= \bruch{4}{3}.
[/mm]
Zur grafischen Darstellung:
Mir scheint, dies ist ab dem Moment ziemlich einfach, da man die Asymptoten kennt: Sie werden hier wie ein Kreuz eingezeichnet. Die eine verläuft ja an der Stelle x=-2, also parallel zur y-Achse, die andere im Abstand 1 oberhalb der x-Achse und parallel zur x-Achse. Da die einzige Nullstelle bei x=-3 liegt, verläuft der eine "Ast" der Funktion "unten links" durch diese Nullstelle von der einen zur andern Asymptote, also im 2. und 3. Quadranten.
Für positive x-Werte verläuft der andere Ast entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse, und zwar auch von der einen zur andern Asymptote. Da es keine weitere Nullstelle gibt, kann der Graf die x-Achse nicht mehr schneiden. Um zu entscheiden, ob der Graf oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft, setzen wir in der Gleichung für x eine günstige Zahl ein, zum Beispiel x=2: [mm]f(2)=\bruch{2^2+2*2-3}{2^2+2-2}= \bruch{'positiv'}{'positiv'}>0[/mm]. Somit verläuft der Graf oberhalb der x-Achse. Den genauen Wert braucht man nicht unbedingt; wichtig ist das Vorzeichen.
Die Asymptoten haben die Wirkung von "Leitplanken": Der Graf kommt ganz nahe an sie heran, ohne sie zu treffen.
Eine andere Überlegung ist die folgende: In der Gleichung der "übrig gebliebenen" Funktion [mm]f(x)=\bruch{x+3}{x+2}[/mm] hat x im Nenner unten einen ungeraden Exponenten, nämlich 1. Dies bedeutet auch, dass der Pol ein Pol "mit Zeichenwechsel" ist. Das heisst: der Graf verläuft auf der einen Seite der senkrechten Asymptote ins negative Unendliche, auf der andern Seite ins positiv Unendliche. Bei einen geraden Exponenten würden beide Äste auf der gleichen Seite liegen (beide im unendlich Positiven oder Negativen).
Hoffentlich habe ich Dich damit nicht vollgeschwatzt ... !
Viele Grüsse
dominik
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