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Forum "Uni-Lineare Algebra" - rationale kanonische Form
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rationale kanonische Form: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:16 Sa 08.05.2004
Autor: Jessica

Hallo zusammen,

ich hab da mal ne Frage.
Ich soll von der Matrix  [mm] A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \IQ^{3x3} [/mm] die rationale kananosche Form A' berechnen. Das habe ich auch gemacht und konnte es berechnen.
Sie lautet: [mm] A' = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]  
Weiterhin soll ich dann eine Matrix [mm] P \in GL_3(\IQ) [/mm] mit [mm] P^{-1}AP=A'[/mm] berechnen. Und hier liegt mein Problem. Ich weiß nicht so recht wie ich auf diese Matrix P komme. Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp dazu geben?

Vielen Dank schon im vorraus

Jessica.

        
Bezug
rationale kanonische Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Sa 08.05.2004
Autor: Marc

Hallo Jessica!

> ich hab da mal ne Frage.
>  Ich soll von der Matrix  [mm]A = \begin{pmatrix} > 0 & 1 & 1 \\ > 1 & 0 & 1 \\ > 1 & 1 & 0 > \end{pmatrix} \in \IQ^{3x3} [/mm] die rationale kananosche Form A' berechnen. Das habe ich auch gemacht und konnte es berechnen.

Was ist denn die rationale kanonische Form? (frage ich nur aus Interesse, das gehört ja nicht zu deiner Frage).

> Sie lautet: [mm]A' = \begin{pmatrix} > -1 & 0 & 0\\ > 0 & 0 & 2 \\ > 0 & 1 & 1 > \end{pmatrix}[/mm]  
> Weiterhin soll ich dann eine Matrix [mm]P \in GL_3(\IQ) [/mm] mit [mm]P^{-1}AP=A'[/mm] berechnen. Und hier liegt mein Problem. Ich weiß nicht so recht wie ich auf diese Matrix P komme. Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp dazu geben?

Hier müßte doch ein einfaches lineares Gleichungssystem reichen, nach einer kleinen Umformung der Gleichung:
[mm]P^{-1}AP=A'[/mm]
[mm] $\gdw$[/mm]  [mm]AP=PA'[/mm]

Dort würde ich dann links und rechts für P die Matrix

[mm]P= \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \end{pmatrix}[/mm]

einsetzen und ausmultiplizieren.

Dann würde ich zu den Gleichungen der Einträge übergehen (denn zwei Matrizen sind gleich [mm] \gdw [/mm] alle Einträge sind gleich).

Das sind neun Gleichungen und neun Variablen, müßte also zu schaffen sein.

Einen schnelleren/geschickteren Weg sehe ich zur Zeit nicht.

Melde dich doch mal mit deinen Ergebissen.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                
Bezug
rationale kanonische Form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Sa 08.05.2004
Autor: Jessica

Hallo Marc!

Die ratinale kanonische Frorm einer Matrix ist bei uns das gleiche wie die Frobenius'sche Normalform.

Danke für deine schnelle Antwort. Bis später
Jessica

Bezug
        
Bezug
rationale kanonische Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 09.05.2004
Autor: Stefan

Liebe Jessica!

> Weiterhin soll ich dann eine Matrix [mm]P \in GL_3(\IQ) [/mm] mit [mm]P^ >{-1}AP=A'[/mm] berechnen. Und hier liegt mein Problem. Ich weiß nicht
> so recht wie ich auf diese Matrix P komme. Könntet ihr mir vielleicht einen > Tipp dazu geben?

In der Matrix [mm]P[/mm] steht doch einfach die "neue" Basis.

Ich mache es dir mal an einem Beispiel vor:

Es soll die kanonische rationale Faktorisierung von

[mm]A=\begin{pmatrix}9 & - 7 & 0 & 2 \\ 7 & -5 & 0 & 2\\ 4 & -4 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}[/mm]

bestimmt werden.

Man errechnet leicht das Minimalpolynom:

[mm]m(A)=(x-2)^2[/mm]

und erhält mit [mm]p(x):=x-2[/mm]:

[mm]p(A) = A-2E_4 = \begin{pmatrix}7 & -7 & 0 & 2 \\ 7 & - 7 & 0 & 2\\ 4 & -4 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm].

Wegen [mm]p(A)e_2 \ne 0[/mm]

können wir als erstes Element der "neuen" Basis [mm]x_1:=e_1[/mm] wählen und erhalten:

[mm]x_2 = Ax_1 = \begin{pmatrix}9 \\ 7 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}[/mm].

Wegen [mm]p(A)e_4 \ne 0[/mm]

können wir als drittes Element der "neuen" Basis [mm]x_3:=e_4[/mm] wählen und erhalten:

[mm]x_4 = Ax_3 = \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}[/mm].

Wegen

[mm]p(x)^2 = x^2 \red{-4}x + \blue{4}[/mm]

hat die rationale kanonische Form offenbar die Gestalt:

[mm]\begin{pmatrix}0 & \blue{-4} & 0 & 0\\ 1 & \red{4} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \blue{-4} \\ 0 & 0 & 1 & \red{4}\end{pmatrix}[/mm].

(Nein, ich habe die Farben nicht vertauscht ;-), du kennst das ja: umgekehrtes Vorzeichen nehmen!)

Die Transformationsmatrix [mm]P[/mm] ergibt sich einfach als

[mm]P = \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 9 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & 0 & 2\\ 0 & 4 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}[/mm].

Ich hoffe das Prinzip ist klar geworden.

Dein Ergebnis habe ich bisher nicht kontrolliert.

Kannst du deinen kompletten Rechenweg bitte mal reinstellen, wie du auf deine rationale kanonische Form gekommen bist? Auf Anhieb würde ich sagen, da kann was nicht stimmen, aber vielleicht täusche ich mich ja. ;-)

Liebe Grüße
Stefan



Bezug
                
Bezug
rationale kanonische Form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Mo 10.05.2004
Autor: Jessica

Hallo stefan,

dein Tipp war gold richtig. ICh hab nicht die Zeit den ganzen Lösungsweg zu posten, deshalb hier nur die Endergebnisse:

Es verbleiben folgende 6 Gleichungen:

[mm]p_1+p_4+p_7=0[/mm]
[mm]-2p_2-p_3=0[/mm]
[mm]-p_3+2p_8=0[/mm]
[mm]-p_5+p_8=0[/mm]
[mm]p_6=0[/mm]
[mm]p_9=0[/mm]

Setzt man [mm]p_1=1, p_2=1, p_4=1[/mm] folgt daraus:

[mm]p_3=-2, p_7=-2, p_8=-1, p_5=-1[/mm]

somit sieht p wie folgt aus:

(Ich habe die Matrix p wie folgt definiert:
[mm]p=\begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 \\ p_4 & p_5 & p_6 \\ p_7 & p_8 & p_9 \end{pmatrix}[/mm] )

[mm]p=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \end{pmatrix}[/mm]

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