reelle Lösung einer Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 13.11.2006 | | Autor: | uxo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters b die reelle Lösung der Gleichung:
[mm] (ln(bx))^2+ln(x)-(ln(b))^2=0 [/mm] (b>0) |
Hallo liebe Mitglieder!
Ich habe obige Gleichung wie folgt gelöst:
[mm] (ln\bruch{bx}{b})^2+ln(x)=0 [/mm] /durch "b" gekürzt...
[mm] (ln(x))^2+ln(x)=0
[/mm]
[mm]
x = 0
[/mm]
Meine Frage ist nun: ist das eine gültige Vorgehensweise, und wenn ja: ist das die einzige reelle Lösung?
Liebe Grüße,
uxo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> ist das eine gültige Vorgehensweise
Nein. Du hast wieder durch eine dir unbekannte Zahl geteilt (b). Was ist, wenn b zufällig 0 ist?
Außerdem soll die Lösung ja in Abhängigkeit von b berechnet werden. Das berücksichtigst du gar nicht.
Also: Immer nur so weit umformen, wie du darfst, dann eine Fallunterscheidung machen.
Ach ja: Logarithmus von 0 ist eine ungefähr so große Sünde wie die Wurzel aus einer negativen Zahl (ohne komplexe Zahlen) oder Division durch 0.
Also: Auf ein Neues!
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 13.11.2006 | | Autor: | uxo |
Hallo Martin243!
Laut Angabe ist b > 0. (Hab' ich eh dazugeschrieben)
Daß die Abhängigkeit zu "b" nicht gegeben ist stimmt leider.
Davon abgesehen wäre es dann wohl eine gültige "Triviallösung", nicht wahr?
Aber wie setze ich am geschicktesten an?
Lieben Gruß,
uxo.
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Hi, uxo,
die "Triviallösung" kann nicht rauskommen!
Aus ln(x) = 0 folgt x = [mm] \red{1} [/mm] !
mfG!
Zwerglein
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Hi, uxo,
> [mm](ln(bx))^2+ln(x)-(ln(b))^2=0[/mm] (b>0)
>
> Ich habe obige Gleichung wie folgt gelöst:
>
> [mm](ln\bruch{bx}{b})^2+ln(x)=0[/mm] /durch "b" gekürzt...
Was meinst Du mit "durch b gekürzt"?! "Kürzen" kann man nur Brüche!
Ich vermute, Du hast versucht, die Formel
ln(bx) - ln(b) = [mm] ln(\bruch{bx}{b}) [/mm] anzuwenden,
was aber WEGEN DES QUADRATES NICHT GEHT!
> [mm](ln(x))^2+ln(x)=0[/mm]
>
> x = 0
Das ist ein weiterer Fehler, denn ln(0) ist nicht definiert;
Deine (falsche!) Gleichung wäre so zu lösen:
ln(x)*(ln(x) + 1) = 0
=> ln(x) = 0 [mm] \vee\quad [/mm] ln(x) + 1 = 0
=> x = 1 [mm] \vee\quad [/mm] x = [mm] e^{-1}
[/mm]
> Meine Frage ist nun: ist das eine gültige Vorgehensweise,
> und wenn ja: ist das die einzige reelle Lösung?
Wie Martin bereits geantwortet hat: Nein!
Richtig geht das so:
Da ln(bx) = ln(b)+ln(x) ergibt sich:
[mm] (ln(b)+ln(x))^{2} [/mm] + ln(x) - [mm] (ln(b))^{2} [/mm] = 0
Binomische Formel:
[mm] (ln(b))^{2} [/mm] + 2*ln(b)*ln(x) + [mm] (ln(x))^{2} [/mm] + ln(x) - [mm] (ln(b))^{2} [/mm] = 0
2*ln(b)*ln(x) + [mm] (ln(x))^{2} [/mm] + ln(x) = 0
ln(x)*[ln(x) + 2*ln(b) + 1] = 0
ln(x) = 0 [mm] \vee\quad [/mm] ln(x) + 2*ln(b) + 1 = 0
x = 1 [mm] \vee\quad [/mm] ln(x) = -2*ln(b)-1
x = 1 [mm] \vee\quad [/mm] x = [mm] e^{-ln(b)-1}
[/mm]
x = 1 [mm] \vee\quad [/mm] x = [mm] \bruch{1}{b^{2}e}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mo 13.11.2006 | | Autor: | uxo |
Herzlichen Dank, Zwerglein!
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