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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:19 Do 16.02.2012 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich frage mich: Für welche Potenzen [mm] $a\in(0,1)$ [/mm] hat die Gleichung [mm] $x^a=-1$ [/mm] eine reelle Lösung?
Für $a=1/2$ gibt es meines Erachtens keine reelle Lösung.
Für $a=1/3$ gibt es meines Erachtens die Lösung $x=-1$.
Aber wie sieht es allgemein für [mm] $a\in\IQ\cap(0,1)$ [/mm] aus, oder noch schlimmer: Was passiert bei [mm] $a=1/\pi$?
[/mm]
Hat jemand eine Lösung mit Begründung parat?
Gruß, Harris
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Hallo Harris,
> Ich frage mich: Für welche Potenzen [mm]a\in(0,1)[/mm] hat die
> Gleichung [mm]x^a=-1[/mm] eine reelle Lösung?
Für gar keine.
> Für [mm]a=1/2[/mm] gibt es meines Erachtens keine reelle Lösung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für [mm]a=1/3[/mm] gibt es meines Erachtens die Lösung [mm]x=-1[/mm].
Aber auch nur deines Erachtens.
> Aber wie sieht es allgemein für [mm]a\in\IQ\cap(0,1)[/mm] aus,
> oder noch schlimmer: Was passiert bei [mm]a=1/\pi[/mm]?
> Hat jemand eine Lösung mit Begründung parat?
Solche Funktionen sind für beliebige reelle Exponenten nur für x>0 definiert.
Beschränkt man sich auf nichtnegative Exponenten, kann man sie auf $x [mm] \ge [/mm] 0$ betrachten.
Für beliebige ganzzahlige Exponenten klappt das ganze dann schon für [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] und erst für nichtnegative ganzzahlige Exponenten kann man den Definitionsbereich auf ganz [mm] \IR [/mm] erweitern.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Do 16.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Für x>0 und a [mm] \in \IR [/mm] ist die allgemeine Potenz [mm] x^a [/mm] definiert (!!) durch:
[mm] x^a:=e^{a*ln(x)}.
[/mm]
Damit dürfte alles geklärt sein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Do 16.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Für x>0 und a [mm]\in \IR[/mm] ist die allgemeine Potenz [mm]x^a[/mm]
> definiert (!!) durch:
>
> [mm]x^a:=e^{a*ln(x)}.[/mm]
>
> Damit dürfte alles geklärt sein.
ich vermute, bei dieser Aufgabe sind vor allem negative reelle Werte fuer $x$ interessant. Dazu muss man wissen, was [mm] $\log(x)$ [/mm] fuer eine negative Zahl $x$ alles sein kann (also wie die Loesungen von [mm] $\exp(z) [/mm] = x$ aussehen fuer $x < 0$).
LG Felix
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