reelle Zahlen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Di 08.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Aus dem Intervall [0;5] werden zwei reelle Zahlen zufällig ausgewählt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der beiden Zahlen größer als 2?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe ihrer Quadrate kleiner oder gleich 3? |
Hallo,
ich versuche grad diese Aufgabe zu lösen,bin aber etwas verwirrt.
a) Die Summe der beiden Zahlen soll größer als 2 sein.Aber für dieses Ereignis gibt es doch unendlich viele Möglichkeiten.Wie soll ich alle aufzählen?
Es gibt z.B. (1;3), (1.5;3), (1.55;3), (1.5555;3) und so geht das immer weiter.Man könnte jetzt noch beliebig viele 5en nach dem Komma ranhängen.
Das ganze würde ja so nie enden?
Ich versteh das nicht?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Di 08.09.2009 | | Autor: | bazzzty |
> Aus dem Intervall [0;5] werden zwei reelle Zahlen zufällig
> ausgewählt.
Ich vermute nicht nur zufällig, sondern auch gleichverteilt. Das sollte der Aufgabensteller eigentlich unterscheiden können.
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der beiden
> Zahlen größer als 2?
versuchen wir uns erstmal nur an dem Teil.
> a) Die Summe der beiden Zahlen soll größer als 2
> sein.Aber für dieses Ereignis gibt es doch unendlich viele
> Möglichkeiten.Wie soll ich alle aufzählen?
Das wirst Du nicht explizit aufzählen können. Aber das brauchst Du auch nicht. Auch wenn Du nur eine Zahl ziehst, gibt es unendlich viele einzelne Möglichkeiten, und trotzdem weißt Du vielleicht, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner 1 zu ziehen, bei 20% liegt: 20% der Ereignisse liegen zwischen 0 und 1.
Dein Problem ist nicht sehr weit davon weg: Stell Dir Deine Ereignisse mal als Quadrat mit der Seitenlänge 5 vor und male die guten Ereignisse grün an. Wie groß ist der Anteil der grünen Fläche am Quadrat?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 08.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Aus dem Intervall [0;5] werden zwei reelle Zahlen zufällig
> > ausgewählt.
>
> Ich vermute nicht nur zufällig, sondern auch
> gleichverteilt. Das sollte der Aufgabensteller eigentlich
> unterscheiden können.
>
> > a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der beiden
> > Zahlen größer als 2?
>
> versuchen wir uns erstmal nur an dem Teil.
>
> > a) Die Summe der beiden Zahlen soll größer als 2
> > sein.Aber für dieses Ereignis gibt es doch unendlich viele
> > Möglichkeiten.Wie soll ich alle aufzählen?
>
> Das wirst Du nicht explizit aufzählen können. Aber das
> brauchst Du auch nicht. Auch wenn Du nur eine Zahl ziehst,
> gibt es unendlich viele einzelne Möglichkeiten, und
> trotzdem weißt Du vielleicht, dass die Wahrscheinlichkeit,
> eine Zahl kleiner 1 zu ziehen, bei 20% liegt: 20% der
> Ereignisse liegen zwischen 0 und 1.
>
> Dein Problem ist nicht sehr weit davon weg: Stell Dir Deine
> Ereignisse mal als Quadrat mit der Seitenlänge 5 vor und
> male die guten Ereignisse grün an. Wie groß ist der
> Anteil der grünen Fläche am Quadrat?
Ok,ich hab mir das Quadrat aufgezeichnet und die grüne Fläche beträgt bei mir [mm] \bruch{24}{25},rabilein [/mm] hatte aber [mm] \bruch{23}{25}.Da [/mm] muss ich wohl nen Fehler gemacht haben.Also bei mir ist das erste Quadrat nicht grün,weil ich ja alle Zahlen unter 1 addieren kann und die Summe ist kleiner als 2.Und die 1 wird auch nicht mitgezählt,weil die Summe dann genau 2 ist,das darf ja nicht sein.Ich wusste aber nicht wie ich das einzeichnen soll.Was hab ich denn sonst falsch gemacht`?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Di 08.09.2009 | | Autor: | bazzzty |
> Ok,ich hab mir das Quadrat aufgezeichnet und die grüne
> Fläche beträgt bei mir [mm]\bruch{24}{25},rabilein[/mm] hatte aber
> [mm]\bruch{23}{25}.Da[/mm] muss ich wohl nen Fehler gemacht
> haben.Also bei mir ist das erste Quadrat nicht grün,weil
> ich ja alle Zahlen unter 1 addieren kann und die Summe ist
> kleiner als 2.
Sehr richtig. Das Problem ist: Du hast zum Beispiel die Zahl (1.2,0.2) grün gemacht, obwohl die Summe nicht größer als zwei ist. Tipp: Die Fläche, die nicht grün ist, ist kein Quadrat (aber was anderes, wovon man die Fläche leicht berechnen kann).
> Und die 1 wird auch nicht mitgezählt,weil
> die Summe dann genau 2 ist,das darf ja nicht sein.Ich
> wusste aber nicht wie ich das einzeichnen soll.
Das ist -- zum Glück -- kein Problem. Fehler, die keine Flächen betreffen, sondern nur Punkte oder Geraden spielen keine Rolle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 08.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ok,ich hab mir das Quadrat aufgezeichnet und die grüne
> > Fläche beträgt bei mir [mm]\bruch{24}{25},rabilein[/mm] hatte aber
> > [mm]\bruch{23}{25}.Da[/mm] muss ich wohl nen Fehler gemacht
> > haben.Also bei mir ist das erste Quadrat nicht grün,weil
> > ich ja alle Zahlen unter 1 addieren kann und die Summe ist
> > kleiner als 2.
>
> Sehr richtig. Das Problem ist: Du hast zum Beispiel die
> Zahl (1.2,0.2) grün gemacht, obwohl die Summe nicht
> größer als zwei ist. Tipp: Die Fläche, die nicht grün
> ist, ist kein Quadrat (aber was anderes, wovon man die
> Fläche leicht berechnen kann).
Ok ich hab einen neuen Versuch gestartet.Ich hab jetzt alles ab der 2 grün markiert,da die Summe ja dann über 2 liegen muss.Geht das so?
[Dateianhang nicht öffentlich]
> > Und die 1 wird auch nicht mitgezählt,weil
> > die Summe dann genau 2 ist,das darf ja nicht sein.Ich
> > wusste aber nicht wie ich das einzeichnen soll.
>
> Das ist -- zum Glück -- kein Problem. Fehler, die keine
> Flächen betreffen, sondern nur Punkte oder Geraden spielen
> keine Rolle.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Ok ich hab einen neuen Versuch gestartet.Ich hab jetzt
> alles ab der 2 grün markiert,da die Summe ja dann über 2
> liegen muss.Geht das so?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
So stimmt's !
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 08.09.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Hey, die Zeichnung (5 mal 5) finde ich genial. Im Endeffekt hast du ja dasselbe raus wie ich.
Auf dieselbe Art könntest du nun Aufgabe b) lösen:
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le [/mm] 3
Und dann setzt du die Fläche dieses Teil-Kreises wieder ins Verhältnis zu der "5 mal 5 Fläche"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hey, die Zeichnung (5 mal 5) finde ich genial. Im Endeffekt
> hast du ja dasselbe raus wie ich.
>
>
> Auf dieselbe Art könntest du nun Aufgabe b) lösen:
>
> [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \le[/mm] 3
>
> Und dann setzt du die Fläche dieses Teil-Kreises wieder
> ins Verhältnis zu der "5 mal 5 Fläche"
>
Kann man die b) auch mit so einem Quadrat lösen`?Ich hab als versucht ein passendes zu zeichnen,das klappt aber nicht.
Ich brauch also die Fläche des Teilkreises [mm] x^{2}+y^{2}\le3.
[/mm]
Die normale Gleichung für den Kreis lautet doch [mm] x^{2}+y^{2}=r^{2}.
[/mm]
Das heißt der Radius des Keises muss hier 3 oder kleiner als 3 sein.Ich berechne jetzt einfach mal die Fläche für den Radius 3,das wäre [mm] A=9\pi.
[/mm]
Aber das wäre ja mehr als die 5 mal 5 Fläche.Das geth nicht.
Was hab ich hier falsch gemacht?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mi 09.09.2009 | | Autor: | bazzzty |
> Kann man die b) auch mit so einem Quadrat lösen'?
Ja, kann man. Zumindest kann man sich das so veranschaulichen.
> Ich brauch also die Fläche des Teilkreises
> [mm]x^{2}+y^{2}\le3.[/mm]
Genaugenommen brauchst Du den Teil diese Kreises, der im Quadrat liegt.
> Die normale Gleichung für den Kreis lautet doch
> [mm]x^{2}+y^{2}=r^{2}.[/mm]
Ja.
> Das heißt der Radius des Keises muss hier 3 oder kleiner
> als 3 sein.
Genau. Nein, [mm]\sqrt{3}[/mm] (danke smarty für die Korrektur). Der Kreis aller Zahlen, die die Gleichung erfüllen, ist ein Kreis mit Radius [mm]\sqrt{3}[/mm]. Trotzdem interessiert dich nicht die Fläche des ganzen Kreises! Preisfrage: Wo liegt der Kreismittelpunkt?
Du bist ganz dicht dran, schneller, als ich erwartet hätte, ein kleiner Schritt noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 09.09.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo bazzzty,
> > Kann man die b) auch mit so einem Quadrat lösen'?
>
> Ja, kann man. Zumindest kann man sich das so
> veranschaulichen.
>
> > Ich brauch also die Fläche des Teilkreises
> > [mm]x^{2}+y^{2}\le3.[/mm]
>
> Genaugenommen brauchst Du den Teil diese Kreises, der im
> Quadrat liegt.
>
> > Die normale Gleichung für den Kreis lautet doch
> > [mm]x^{2}+y^{2}=r^{2}.[/mm]
>
> Ja.
>
> > Das heißt der Radius des Keises muss hier 3 oder kleiner
> > als 3 sein.
>
> Genau. Der Kreis aller Zahlen, die die Gleichung erfüllen,
> ist ein Kreis mit Radius 3. Preisfrage: Wo liegt der
> Kreismittelpunkt?
muss der Radius nicht [mm] \wurzel{3} [/mm] sein???
Grüße
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mi 09.09.2009 | | Autor: | bazzzty |
> muss der Radius nicht [mm]\wurzel{3}[/mm] sein???
Ohm, natürlich, danke für die Korrektur!
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Hier ist die Zeichnung zur Aufgabe b)
Jetzt musst du nur noch die gelbe und die rote Fläche berechnen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hier ist die Zeichnung zur Aufgabe b)
>
> Jetzt musst du nur noch die gelbe und die rote Fläche
> berechnen.
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
Ok,ich hab dann eine W. von 0.09 raus.Stimmt das so?
Meine Zeichnung war so ähnlich ich hatte die Punkte auch bei [mm] \wurzel{3},aber [/mm] ich hatte keinen Bogen gemalt sondern hatte einfach einen Strich gezogen (wie bei a).
Vielen Dank nochmal
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 09.09.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Mandy,
> > Hier ist die Zeichnung zur Aufgabe b)
> >
> > Jetzt musst du nur noch die gelbe und die rote Fläche
> > berechnen.
> >
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> >
>
> Ok,ich hab dann eine W. von 0.09 raus.Stimmt das so?
ja, ich hätte aber diesmal sogar die nächste Stelle noch mitgenommen: 0,094
> Meine Zeichnung war so ähnlich ich hatte die Punkte auch
> bei [mm]\wurzel{3},aber[/mm] ich hatte keinen Bogen gemalt sondern
> hatte einfach einen Strich gezogen (wie bei a).
aber mit einem Strich hättest du dann Werte erwischt, die nicht hätten dabei sein dürfen. Was durch Nachrechnen auch schnell aufgefallen wäre 
Grüße
Smarty
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Zu Aufgabe a):
Dass die Summe NULL ist, das ist extrem unwahrscheinlich.
Dass die Summe FÜNF ist, das ist höchstwahrscheinlich.
Dass die Summe ZEHN ist, das ist extrem unwahrscheinlich.
Aus obigen Aussagen habe ich folgendes Diagramm gebastelt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das "Dreieck" stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dar.
Somit ist die blaue Fläche die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe kleiner als ZWEI" ist.
Die gelbe Fläche ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe größer als ZWEI ist.
Das Verhältnis der gelben Fläche zur Gesamtfläche ist [mm] \bruch{23}{25}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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