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| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 6 & 6 & -2 } \in\IR^{3x3}. [/mm] Bestimmen Sie die reellen Eigenwerte von A und Basen für die zugehörigen Eingenräume. Ist A über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar? |
Hallo zusammen, leider weiß ich bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Ich habe A von einer [mm] \lambda [/mm] Einheitsmatrix subtrahiert und habe dies dann nach Laplace entwickelt aber leider komme ich da nicht auf dieselbe det wie es mir Derive sagt, stimmt die Entwicklung so? -1*(λ-1*-6 - (-2)*(-6)) + (λ+2)(λ-1*λ-1 - (-2)*(-2))
Wie mache ich denn dann genau weiter, wenn ich die det bestimmt habe?
Es wäre toll wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Warum machst du's nicht einfach mit Sarrus?
Der Ansatz sieht dann so aus:
[mm] A=\pmat{ 1-\lambda & 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda & -1 \\ 6 & 6 & -2-\lambda}
[/mm]
Jetzt die Daterminante mit Sarrus berechnen.
![[]](/images/popup.gif) Regel von Sarrus
Du kriegst dann das char.Po. und davon die Nullstellen sind dann die Eigenwerte.
Char.Po.: [mm] -\lambda^3 [/mm] + [mm] \lambda=0
[/mm]
reelle Eigenwerte: { -1 ; 0 ; 1 }
Dann setzt du die Eigenwerte jeweils für [mm] \lambda [/mm] ein, machst den Gauß-Algorithmus.(es fällt immer eine oder zwei Zeilen raus)
Den Gauß-Algorithmus bis zum Ende durchführen und dann die EN abziehen. Dann kriegst den Eigenvektor zum Eigenwert.
Eigenvektoren:
zum Eigenwert [mm] -1:\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
zum Eigenwert [mm] 0:\vektor{2 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
zum Eigenwert [mm] 1:\vektor{1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Die alg.Vielfach. ist gleich der geo.Vielfach.. Somit ist A diag.
Gruß
Boki87
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Hallo Boki, danke für die schnelle Antwort, sie hat mir auch sehr geholfen. Vermutlich meinst du aber nicht A sondern [mm] A-\lamda [/mm] E .^^
Wie schreibe ich denn den Gauß Algorithmus auf? Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, kannst du mir es vieleicht nur für ein Bsp zeigen, wie du zu dem Eigenvektor kommst? Danke im voraus
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Hallo wasistmathe,
> Hallo Boki, danke für die schnelle Antwort, sie hat mir
> auch sehr geholfen. Vermutlich meinst du aber nicht A
> sondern [mm]A-\lambda[/mm] E .^^
Natürlich 
> Wie schreibe ich denn den Gauß Algorithmus auf? Ich stehe
> gerade etwas auf dem Schlauch, kannst du mir es vieleicht
> nur für ein Bsp zeigen, wie du zu dem Eigenvektor kommst?
> Danke im voraus
Uff, ich mache nur den ersten Schritt für den Eigenwert [mm] $\lambda=-1$
[/mm]
Es ist [mm] $A-\red{(-1)}\cdot{}\mathbb{E}_3=A+1\cdot{}\mathbb{E}_3=\pmat{ 1-\red{(-1)} & 2 & 0 \\ 2 & 1-\red{(-1)} & -1 \\ 6 & 6 & -2-\red{(-1)}}=\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & 6 & -1} [/mm] $
Rechnerisch musst du die Matrix ja in Zeilenstufenform bringen, um den [mm] $Kern(A+1\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] zu bestimmen.
Beginne damit das $(-1)$-fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile zu addieren und das $(-3)$-fache der 1.Zeile auf die 3.Zeile zu addieren ...
LG
schachuzipus
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Danke, dann hatte ich es doch richtig gemacht, ich stand irgendwie nur aufm Schlauch. Wenn ihr EN schreibt meint ihr die Einheitsmatrix oder?
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