www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - reelles DGL-System
reelles DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 28.11.2011
Autor: David90

Aufgabe
Ermitteln Sie die allgemeine Lösung des reellen DGL-Systems
[mm] \pmat{ t^{-1} & 2t^{-1} \\ -t^{-1} & -2t^{-1} }\vec{x}(t)+\vektor{cost \\ 0}=\vec{x}'(t), [/mm] t [mm] \in \IR^{+} [/mm]


Hi Leute, also ich komm bei der obigen Aufgabe nicht klar :/
Also das ist ja ein lineares, homogenes System mit Dimension 2.
Lösung mit Variation der Konstanten:
Jetzt brauchen wir erstmal die homogene Lösung, damit man die Wronski-Matrix aufstellen kann. Aber ich weiß nicht wie man auf die kommt :/ Kann mir jemand helfen?
Danke schon mal
Gruß David

        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Mo 28.11.2011
Autor: fred97


> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung des reellen
> DGL-Systems
>  [mm]\pmat{ t^{-1} & 2t^{-1} \\ -t^{-1} & -2t^{-1} }\vec{x}(t)+\vektor{cost \\ 0}=\vec{x}'(t),[/mm]
> t [mm]\in \IR^{+}[/mm]
>  Hi Leute, also ich komm bei der obigen
> Aufgabe nicht klar :/
>  Also das ist ja ein lineares, homogenes System mit
> Dimension 2.
>  Lösung mit Variation der Konstanten:
>  Jetzt brauchen wir erstmal die homogene Lösung, damit man
> die Wronski-Matrix aufstellen kann. Aber ich weiß nicht
> wie man auf die kommt :/ Kann mir jemand helfen?
>  Danke schon mal
>  Gruß David


Ist [mm] \vec{x}(t)=(x_1(t),x_2(t))^T [/mm] eine Lösung des homogenen Systems, so ist

   [mm] x_2'=-x_1'. [/mm]

Hilft das ?

FRED

Bezug
                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Mo 28.11.2011
Autor: David90

mmhhhh...nicht wirklich :/
In der Aufgabe war noch ein Hinweis: Für die homogene Lösung verwenden Sie den Ansatz [mm] t^r\vektor{\alpha \\ \beta} [/mm] mit geeigneten Zahlen  r, [mm] \alpha, \beta... [/mm] aber so richtig hilft mir das auch nicht weiter...wie soll man denn daraus die Wrönski-Matrix aufstellen?
Gruß David

Bezug
                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Mo 28.11.2011
Autor: fred97


> mmhhhh...nicht wirklich :/
> In der Aufgabe war noch ein Hinweis: Für die homogene
> Lösung verwenden Sie den Ansatz [mm]t^r\vektor{\alpha \\ \beta}[/mm]
> mit geeigneten Zahlen  r, [mm]\alpha, \beta...[/mm] aber so richtig
> hilft mir das auch nicht weiter...wie soll man denn daraus
> die Wrönski-Matrix aufstellen?
>  Gruß David


Gehe mit [mm] \vec{x}(t)=t^r*\vektor{\alpha \\ \beta} [/mm] in das homogene System ein.

FRED

Bezug
                                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mo 28.11.2011
Autor: David90

Was meinst du mit eingehen? Muss man da irgendeine Lösungmethode anwenden, z.B. Exponentialansatz?


Bezug
                                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mo 28.11.2011
Autor: fred97


> Was meinst du mit eingehen? Muss man da irgendeine
> Lösungmethode anwenden, z.B. Exponentialansatz?

Nein !!!

Für eine Lösung des homogenen Systems sollst Du den Ansatz  [mm] x(t)=t^r\vektor{\alpha \\ \beta} [/mm] machen.

D.h.:


        [mm] \pmat{ 1/t & 2/t \\ -1/t & -2/t }t^r\vektor{\alpha \\ \beta}= rt^{r-1}\vektor{\alpha \\ \beta} [/mm]

Gewinne daraus Informationen über [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm]

FRED
        

>  


Bezug
                                                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 28.11.2011
Autor: David90

Achso ok...sorry, wenn ich das noch nich so ganz verstehe v.v
Hab das jetzt eingesetzt und vereinfacht (da haben sich ja die ganzen [mm] t^{r-1} [/mm] rausgekürzt) und dann bleibt da stehen:
1) [mm] \alpha+2\beta=\alpha [/mm] r
2) [mm] -\alpha-2\beta=\beta [/mm] r
Aber das sind ja 3 Unbekannte und wir haben nur 2 Gleichungen...wenn man die beiden addiert bleibt stehen:
[mm] 0=r(\alpha+\beta) [/mm] darf man jetzt die Variablen einfach so wählen?
Die Gleichung ist ja erfüllt für r=0 oder [mm] \alpha=-\beta [/mm] und dann würde sich folgende homogene Lösung ergeben:
[mm] \vec{x_{1}}(t)=\vektor{1 \\ -1} [/mm]
Aber da fehlt ja dann noch eine homogene Lösung, sonst können wir ja keine Wronski-Matrix aufstellen...
Kann man dann ins Komplexe gehen und sagen eine zweite Lösung ist:
[mm] \vec{x_{2}}(t)=\vektor{1-i \\ -1+i}? [/mm]
Gruß David

Bezug
                                                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mo 28.11.2011
Autor: MathePower

Hallo David90,

> Achso ok...sorry, wenn ich das noch nich so ganz verstehe
> v.v
>  Hab das jetzt eingesetzt und vereinfacht (da haben sich ja
> die ganzen [mm]t^{r-1}[/mm] rausgekürzt) und dann bleibt da
> stehen:
>  1) [mm]\alpha+2\beta=\alpha[/mm] r
>  2) [mm]-\alpha-2\beta=\beta[/mm] r
>  Aber das sind ja 3 Unbekannte und wir haben nur 2
> Gleichungen...wenn man die beiden addiert bleibt stehen:
>  [mm]0=r(\alpha+\beta)[/mm] darf man jetzt die Variablen einfach so
> wählen?
>  Die Gleichung ist ja erfüllt für r=0 oder [mm]\alpha=-\beta[/mm]
> und dann würde sich folgende homogene Lösung ergeben:
>  [mm]\vec{x_{1}}(t)=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>  Aber da fehlt ja dann
> noch eine homogene Lösung, sonst können wir ja keine
> Wronski-Matrix aufstellen...
>  Kann man dann ins Komplexe gehen und sagen eine zweite
> Lösung ist:
>  [mm]\vec{x_{2}}(t)=\vektor{1-i \\ -1+i}?[/mm]


Obiges Gleichungsystem schreibt sich doch so:

[mm]\pmat{1 & 2 \\ -1 & -2}\pmat{\alpha \\ \beta}=r*\pmat{\alpha \\ \beta}[/mm]

bzw.

[mm]\left(\pmat{1 & 2 \\ -1 &-2}-r*\pmat{1 & 0 \\ 0 &1}\right)\pmat{\alpha \\ \beta}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]

Das ist ein Eigenwertproblem.

Bestimme demnach die Eigenwerte der Matrix

[mm]\pmat{1 & 2 \\ -1 &-2}-r*\pmat{1 & 0 \\ 0 &1}=\pmat{1-r & 2 \\ -1 &-2-r}[/mm]



>  Gruß David



Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mo 28.11.2011
Autor: David90

Ok dann habe ich jetzt für [mm] r_{1}=0 [/mm] und für [mm] r_{2}=-\bruch{1}{4}. [/mm] So jetzt braucht man doch noch Werte für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] oder? Wie bekommt man denn die?
Gruß David

Bezug
                                                                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Mo 28.11.2011
Autor: fred97


> Ok dann habe ich jetzt für [mm]r_{1}=0[/mm] und für
> [mm]r_{2}=-\bruch{1}{4}.[/mm] So jetzt braucht man doch noch Werte
> für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] oder? Wie bekommt man denn die?

Löse für diese r jeweils das GS

                              

$ [mm] \pmat{1 & 2 \\ -1 & -2}\pmat{\alpha \\ \beta}=r\cdot{}\pmat{\alpha \\ \beta} [/mm] $



FRED



>  Gruß David


Bezug
                                                                                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mo 28.11.2011
Autor: David90

Na gut, für [mm] r_{1}=0 [/mm] ergibt sich das Gleichungssystem:
1) [mm] \alpha_{1}+2\beta_{1}=0 [/mm]
2) [mm] -\alpha_{1}-2\beta_{1}=0 [/mm]
Also kann man [mm] \alpha_{1} [/mm] und [mm] \beta_{1} [/mm] frei wählen oder?
Dann Setzt man z.B. [mm] \alpha_{1}=-2 [/mm] und [mm] \beta_{1} [/mm] ist dann 1.

für [mm] r_{2}=-\bruch{1}{4} [/mm] ergibt sich das Gleichungssystem:
1) [mm] \alpha_{2}+2\beta_{2}=-\bruch{1}{4}\alpha_{2} [/mm]
2) [mm] -\alpha_{1}-2\beta_{1}=-\bruch{1}{4}\beta_{2} [/mm]
also ist [mm] \alpha_{2}=\beta_{2}=0 [/mm]

Und jetzt kann man die Wronski-Matrix aufstellen oder?
Also [mm] w(t)=\pmat{ -2 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm]
Gruß David

Bezug
                                                                                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Di 29.11.2011
Autor: MathePower

Hallo David90,

> Na gut, für [mm]r_{1}=0[/mm] ergibt sich das Gleichungssystem:
>  1) [mm]\alpha_{1}+2\beta_{1}=0[/mm]
>  2) [mm]-\alpha_{1}-2\beta_{1}=0[/mm]
>  Also kann man [mm]\alpha_{1}[/mm] und [mm]\beta_{1}[/mm] frei wählen oder?
>  Dann Setzt man z.B. [mm]\alpha_{1}=-2[/mm] und [mm]\beta_{1}[/mm] ist dann
> 1.
>  
> für [mm]r_{2}=-\bruch{1}{4}[/mm] ergibt sich das Gleichungssystem:
>  1) [mm]\alpha_{2}+2\beta_{2}=-\bruch{1}{4}\alpha_{2}[/mm]
>  2) [mm]-\alpha_{1}-2\beta_{1}=-\bruch{1}{4}\beta_{2}[/mm]
>  also ist [mm]\alpha_{2}=\beta_{2}=0[/mm]
>  
> Und jetzt kann man die Wronski-Matrix aufstellen oder?


Nein, das kannst Du nicht.

Für r=0 erhältst Du unendliche viele Lösungen die Vielfache von [mm]\pmat{-2 \\ 1}[/mm] sind. Das ist der Eigenvektor zum Eigenwert 0.

Für [mm]r=-\bruch{1}{4}[/mm] erhältst Du die triviale Lösung. Diese ist nicht interessant.

Gesucht ist daher ein zweites [mm]r \not=0[/mm], für welches das Gleichungssystem
unendlich viele Lösungen besitzt.

Um diese r herauszufinden, macht den Ansatz des  charakterisrischen Polynoms  und bestimmt davon die Nullstellen.


>  Also [mm]w(t)=\pmat{ -2 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
>  Gruß David


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Do 01.12.2011
Autor: kozlak

Hallo.

Also wäre das für [mm] r_{2}=-1 [/mm] mit Eigenvektor [mm] \vektor{-1\\ 1}. [/mm] Somit ist die Lsg. des hom. DGL  [mm] x(t)_{h}=c_{1}e^-t\vektor{-1\\ 1}+c_{2}\vektor{-2t\\ t}, c_{1},c_{2}\in [/mm] R? Wie geht man weiter vor?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Do 01.12.2011
Autor: MathePower

Hallo kozlak,

> Hallo.
>  
> Also wäre das für [mm]r_{2}=-1[/mm] mit Eigenvektor [mm]\vektor{-1\\ 1}.[/mm]
> Somit ist die Lsg. des hom. DGL  
> [mm]x(t)_{h}=c_{1}e^-t\vektor{-1\\ 1}+c_{2}\vektor{-2t\\ t}, c_{1},c_{2}\in[/mm]
> R? Wie geht man weiter vor?


Die homogene Lösung muss doch so lauten:

[mm]x_{h}(t)=c_{1}\red{t^{-1}}\vektor{-1\\ 1}+c_{2}\blue{\vektor{-2\\ 1}}, c_{1},c_{2}\in \IR[/mm]


Um die partikuläre Lösung zu bestimmen,
werden jetzt [mm]c_{1}, c_{2}[/mm] zusätztlich von t abhängig gemacht.

Damit lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:

[mm]x_{p}(t)=c_{1}\left(t\right)*t^{-1}\vektor{-1\\ 1}+c_{2}\left(t\right)*\vektor{-2\\ 1}[/mm]

Damit gehst Du in die inhomogene DGL.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
reelles DGL-System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Do 01.12.2011
Autor: kozlak

Danke für die Hilfe, aber wieso muss es [mm] x(t)=c_{1}t^{-1}\vektor{-1 \\ 1}+ c_{2}\vektor{-2 \\ 1}. [/mm] kann man hier denn nicht den Ansatz [mm] \vec{x(t)}=\vec{v}e^{\lambda*t} [/mm] verwenden und somit [mm] x(t)=c_{1}e^{-t}\vektor{-1 \\ 1}+ c_{2}\vektor{-2 \\ 1}? [/mm]

mfg,
kozlak

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
reelles DGL-System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Do 01.12.2011
Autor: MathePower

Hallo kozlak,

> Danke für die Hilfe, aber wieso muss es
> [mm]x(t)=c_{1}t^{-1}\vektor{-1 \\ 1}+ c_{2}\vektor{-2 \\ 1}.[/mm]
> kann man hier denn nicht den Ansatz
> [mm]\vec{x(t)}=\vec{v}e^{\lambda*t}[/mm] verwenden und somit
> [mm]x(t)=c_{1}e^{-t}\vektor{-1 \\ 1}+ c_{2}\vektor{-2 \\ 1}?[/mm]
>  


Der Ansatz lautet nach der Aufgabe :[mm]x\left(t\right)=t^{r}*\pmat{\alpha \\ \beta}[/mm]


> mfg,
>  kozlak


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
reelles DGL-System: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Do 01.12.2011
Autor: kozlak


Endlich verstanden.

Vielen Dank!

mfg,
kozlak

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de