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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Di 01.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Könnt ihr mir vielleicht einen Ansatz zu dem Bsp. verraten?
Wie groß ist die maximale Anzahl an Einsern in einer Matrix aus ( [mm] \IZ_{2})^{n}_{n}, [/mm] so dass die Matrix regulär ist? Ich weiß zwar was regulär bedeutet (Inverse bildbar) lomm aber trotzdem nicht drauf.
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Hallo.
Ihr habt bestimmt eine Reihe von Kriterien zur Invertierbarkeit von Matritzen bewiesen, zum Beispiel über den Zusammenhang von Invertierbarkeit und linearer (Un-)Abhängigkeit.
Wenn Du dir das nochmal ankuckst, bist Du dem Ziel schon recht nahe.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Ich glaube der Satz dürfte ganz nützlich sein oder?
Seien A [mm] \in K^{n}_{n} [/mm] regulär und [mm] a_{1},...a_{r} \in K_{n}. [/mm] Dann [mm] gilt:a_{1},....a_{r} [/mm] sind linear unabhängig [mm] \gdw A*a_{1},...,A*a_{r} [/mm] sind linear unabhängig
Ich nehme jetzt an dass [mm] a_{1},...a_{r} [/mm] die Einsen sind und ich für die
lineare Unabhängigkeit
[mm] \summe_{}^{} \lambda_{i}*a_{i} [/mm] = 0 bilden muss
Also gehe ich davon aus dass es r Einser gibt aber dass ist glaube ich falsch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Do 03.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Versuche es doch mal 'greedy': Wähle Dir einen Vektor mit maximal vielen 1en, dann immer wieder einen, der maximal viele 1en hat und linear unabhängig zu den vorangegangenen ist. Warum ist das Ergebnis optimal?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Do 03.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Die matrix würde dann so aussehen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1.....1 \\ 0 & 1 & 1.....1 \\ 1 & 0 & 1.....1 \\ .....\\1 & 1 & 1.....0}
[/mm]
(n-1) Zeilen mit einem 0er
Also müssten n² - (n-1) 1er vorkommen in der Matrix da (n-1) die Anzahl der 0er symbolisiert.
Was ich jetzt noch nicht so ganz kapier ist der Satz...symbolisiert [mm] a_{1},...,a_{r} [/mm] in [mm] K_{n} [/mm] jeweils eine Spalte?
Dass heißt ein a ist z.b.: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\....\\1}
[/mm]
Eigentlich schon denn ansonsten könnte ich das Ganze ja nicht mit der Matrix A multiplizieren.Sind dann in A lauter Unbekannte die ich mit a multiplizieren muss um ein Gleichungssystem zu bekommen welches dann für alle Unbekannten = 0 sein muss da linear unabhängig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 03.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Also zunächst: Ich habe nicht auf dem Satz aufgesetzt, die Lösung, die Du beschrieben hast ist, besteht aus linear unabhängigen Zeilen/Spalten, ist damit regulär. Daß die Anzahl der Einsen maximal ist, ist offensichtlich, eine mehr und man hätte zwei gleiche Zeilen.
Zum Satz: Es geht um die Spalten (zum Beispiel).
Sind die Spalten einer Matrix linear unabhängig, dann ist das Bild jeder Basis (unter Multiplikation mit der Matrix) wieder eine Basis. Damit ist auch das Bild der Matrix-Spalten wieder eine Basis, also linear unabhängig.
Die Umkehrung gilt auch: Sind eine Menge von Vektoren nicht linear unabhängig (z.B. die Spalten der Matrix) , dann gilt das natürlich auch für deren Bilder unter einer liearen Funktion.
Ich habs kurz gehalten, damit noch Platz zum Nachdenken bleibt. Sonst frag nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 03.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Wenn ich jetzt z.b. eine Matrix habe:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] wo die Spalten linear unabhängig
sind dann kann ich jede einzelne Spalte wieder mit A multiplizieren und
ich bekomme wieder 3 unabhängige Vektoren heraus.
In diesem Fall: A * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
A * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
A * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
War das so gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Do 03.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Ja, so ist das gemeint. Genau dann, wenn die Spalten linear unabhängig sind, sind es auch die Bilder unter A.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 03.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Danke, mich täte jetzt noch interresieren wieso du immer das Wort "Bild" benutzt? Denn Bilder sind ja Abbildungen und hierbei wäre ja eine Funktion
von Nöten. Oder meinst du damit einfach die eine Matrix wird in die Andere überführt?
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Hallo Reaper,
wenn du $Ax = b$ hast, steckt man quasi x rein und b kommt raus.
Und dann sind alle x die mein reinstecken darf der Urbildraum und
alle b die rauskommen der Bildraum. Der Übergang erfolgt logischerweise
über die Abbildungsvorschrift A.
Fazit: x geht über die Abbildungsvorschrift A in das Bild b über.
gruß
marthasmith
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Fr 04.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Jede Matrix [mm]A\in K^{n\times m}[/mm] indiziert eine lineare Abbildung [mm] \Lambda_A : K^m\to K^n[/mm] durch [mm] x\mapsto Ax [/mm]. In dieser Analogie läßt sich eben vom Kern und vom Bild einer Matrix sprechen.
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