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Hallo zusammen,
ein Punkt ist regulär, falls das Differential surjektiv ist, doch ich weiss nicht wie man die Surjektivität in diesem Fall prüft.
Hier meine Idee:
Beispiel: f: [mm] \IR^{3}->\IR, (x,y,z)\mapsto \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}.
[/mm]
Also berechnen wir zuerst die Jakobi-Matrix:
[mm] \pmat{ 2x & 2y & 2z }.
[/mm]
Wie geht es jetzt genau weiter? Eine Basis für den Tangentialraum von [mm] \IR [/mm] wäre [mm] f(p)+t*e_{1}. [/mm] mit t [mm] \in \IR.
[/mm]
Da die Jakobi-Matrix eine dartellende Matrix bzgl. der partiellen Ableitungen ist, kann ich schreiben:
(2x+2y+2z)*(f(p)+t)
Also: (2x+2y+2z)*(f(p)+t)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] t*((2x+2y+2z))=0
[mm] \Rightarrow [/mm] p=0.
d.h. alle Punkt sind regulär bis auf 0.
Stimmen meine Ideen?
Jetzt aber ein anderes Beispiel, wo meine Überlegungen nicht mehr richtig sind:
Sei f: [mm] S^{2}->\IR, (x,y,z)\mapsto [/mm] x. Höhenfunktion.
In der Vorlesung wurde uns gesagt, dass alle werte bis auf -1,1 regulär sind.
[mm] f^{-1}(1)= [/mm] Nordpol = (1,0,0). Also ist N kein regulärer Punkt.
Aber nach der Berechnung von oben erhalte ich, dass der Nordpol ein regulärer Punkt ist, da der Gradient (1,0,0) ist.
Wo ist mein Fehler? Kann mir jemand vielleicht ein bisschen mehr über reguläre Werte erzählen? Vielen Dank
Euer Gorky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 14.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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