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Hallo,
ich habe ein kleines Verständnisproblem und dazu noch eine Aufgabe, die ich lösen muss.
Also erstmal zum Verständnis:
Wir haben regulären Punkt so definiert:
[mm] U\subset \IR^{n} [/mm] offen, [mm] f\in C^{1}(U,\IR^{m}). [/mm]
[mm] z\in [/mm] U heißt regülärer Punkt von f, falls df(z) [mm] \in \mathcal{L}(\IR^{n},\IR^{m}) [/mm] surjektiv ist.
Erstens: Was bedeutet dieses [mm] \mathcal{L} [/mm] ? Lineare Abildungen oder was??
Zweitens: Ist die Voraussetzung, dass df(z) surjektiv ist damit gleichbedeutend, dass [mm] rang(J_{f}(z))=m [/mm] ist?? [mm] (J_{f}(z)=Jacobi-matrix) [/mm]
Aufgabe:
Ich soll die regulären Punkte und Werte von [mm] f(x,y,z)=\pmat{ x^2 + y^2 \\ y^2 + z^2 } [/mm] bestimmen.
Ich habe jetzt die Jacobi Matrix bestimmt: [mm] \pmat{ 2x & 2y & 0 \\ 0 & 2y & 2z }
[/mm]
Wenn mein "zweitens" stimmt, müssten doch alle Punkte regulär sein, für die mindestens zwei Koordinaten [mm] \not=0 [/mm] sind oder?
Wie bekomme ich jetzt die regulären Werte raus?
Gürß Ned.
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Hi, ich habe DIE GLEICHE aufgabe zu lösen und habe folgendes zu dem thema gefunden:
http://books.google.com/books?id=PvJug0D6sngC&pg=PA298&lpg=PA298&dq=regul%C3%A4re+punkte&source=bl&ots=2UhdR1xV2K&sig=wJA0SQajTUt5CcMBI2DsOG96eJM&hl=de&ei=A8pMSsXeFoWI_Ab437zABQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3
Ab seite 297 ungefähr wird es interresant, demnach ist df(x) : [mm] R^n [/mm] -> [mm] R^r [/mm] surjektiv <=> rang Df(x) = r , wobei df(x)=Df(x)*h, h aus [mm] R^n
[/mm]
hilft uns das weiter?
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