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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 01.12.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | hänge grad an der aufgabe fest :-/
für welche [mm] z\in\IC [/mm] ist diese reihe konvergent [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n!z^n [/mm] ? |
mit dem Quotientenkriterium und dem Wurzelkriterium hats bei mir nicht geklappt. Jetzt tret ich auf der stelle.
es reicht ja nicht wenn ich herausfinde, für welches [mm] z\in \IC [/mm] der term [mm] |n!z^n| [/mm] gegen 0 geht, weil ja z.b. die reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] nicht konvergiert, obwohl [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 geht. kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo anabiene,
> hänge grad an der aufgabe fest :-/
> für welche [mm]z\in\IC[/mm] ist diese reihe konvergent
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n!z^n[/mm] ?
> mit dem Quotientenkriterium und dem Wurzelkriterium hats
> bei mir nicht geklappt.
Wieso nicht?
Für Potenzreihen ergibt sich aus dem QK das Eulerkriterium.
Berechne für [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}z^n[/mm] dann
[mm]r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm]R=\frac{1}{r}[/mm] mit den Festlegungen [mm]\frac{1}{0}=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
Du hast dann (absolute) Konvergenz für [mm]|z|R[/mm]
Das kannst du dir (falls nicht bekannt) direkt aus dem QK herleiten ...
Wie es am Rand, also für [mm]|z|=R[/mm] aussieht, musst du separat untersuchen.
Hier mit [mm]a_n=n![/mm]
Was ergibt sich sofort?
> Jetzt tret ich auf der stelle.
>
> es reicht ja nicht wenn ich herausfinde, für welches [mm]z\in \IC[/mm]
> der term [mm]|n!z^n|[/mm] gegen 0 geht, weil ja z.b. die reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm] nicht konvergiert, obwohl
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gegen 0 geht. kann mir jemand weiterhelfen?
Siehe oben, außerdem weißt du, dass jede Potenzreihe zumindest in ihrem Entwicklungspunkt konvergiert, hier also für [mm]z=0[/mm], denn dann sind alle Summanden der Reihe ja =0 ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 01.12.2011 | | Autor: | anabiene |
nach dem ich mich jetzt eine zeit lang mit der thematik beschäftigt habe bin ich hier:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}\right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(n+1)z| [/mm] = [mm] |z|\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)<1 \gdw |z|<\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)}=:R
[/mm]
dann kommt doch raus: [mm] R\to0, [/mm] da [mm] \bruch{1}{n+1}\to0 [/mm] für [mm] n\to \infty
[/mm]
also |z|<R=0 ,aber wie soll der betrag kleiner 0 sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Fr 02.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
genau, so ein z gibt es nicht. jetzt noch den Rand untersuchen z=0 dafür konv die summe, also nur für z=0
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Fr 02.12.2011 | | Autor: | anabiene |
der rand? meinst du damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = 1?
wenn ja, dann $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] $ = ... = $ [mm] |z|\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)=1 \gdw |z|=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)}=:R=0 [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] |z|=0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> der rand? meinst du damit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
> = 1?
>
nein.
> wenn ja, dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
> = ... = [mm]|z|\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)=1 \gdw |z|=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)}=:R=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] |z|=0?
Ich versuchs mal so:
Du hattest:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}\right| [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(n+1)z| [/mm] $ = $ [mm] |z|\limes_{n\rightarrow\infty}(n+1)$
[/mm]
Ist nun z [mm] \ne [/mm] 0, so ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Das QK sagt nun: die Reihe divergiert.
Fazit: die Reihe konvergiert nur für z=0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | anabiene |
ah ok gut 
vielen danke euch!
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