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Forum "Folgen und Grenzwerte" - rek. in expl. Folge umwandeln
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rek. in expl. Folge umwandeln: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Mo 16.08.2010
Autor: Phluff

Aufgabe
Wandle die rekursive Folge a(n+1) = 3 * a(n) +1 in die explizite Darstellung um.  

Hallo,
folgendes habe ich notiert:
a(0)=0
a(1)=1
a(2)=4
a(3)=13
a(4)=40
a(5)=121
außerdem:
[mm] 3^1=3 [/mm]
[mm] 3^2=9 [/mm]
[mm] 3^3=27 [/mm]
[mm] 3^4=81 [/mm]
[mm] 3^5=243 [/mm]
daraus folgt: 2 * a(n) + 1 = [mm] 3^n [/mm]
daraus folgt: a(n) = [mm] 0,5(3^n [/mm] -1)
kann mir bitte jemand erklären, wie man von den beiden Zahlenreihen auf die endgültige explizite Darstellung kommt? Falls nicht, wie geht es sonst?
Vielen Dank im Voraus, Gruß, Phluff

        
Bezug
rek. in expl. Folge umwandeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Mo 16.08.2010
Autor: MathePower

Hallo Phluff,

> Wandle die rekursive Folge a(n+1) = 3 * a(n) +1 in die
> explizite Darstellung um.
> Hallo,
>  folgendes habe ich notiert:
> a(0)=0
>  a(1)=1
>  a(2)=4
>  a(3)=13
>  a(4)=40
>  a(5)=121
>  außerdem:
>  [mm]3^1=3[/mm]
>  [mm]3^2=9[/mm]
>  [mm]3^3=27[/mm]
>  [mm]3^4=81[/mm]
>  [mm]3^5=243[/mm]
>  daraus folgt: 2 * a(n) + 1 = [mm]3^n[/mm]
>  daraus folgt: a(n) = [mm]0,5(3^n[/mm] -1)
>  kann mir bitte jemand erklären, wie man von den beiden
> Zahlenreihen auf die endgültige explizite Darstellung
> kommt? Falls nicht, wie geht es sonst?


Unverkennbar ist, daß

[mm]a(1)-a(0)=1=3^{0}[/mm]
[mm]a(2)-a(1)=3=3^{1}[/mm]
[mm]a(3)-a(2)=9=3^{2}[/mm]
[mm]a(4)-a(3)=27=3^{3}[/mm]
[mm]a(5)-a(4)=81=3^{4}[/mm]


Also allgemein:

[mm]a(n+1)-a(n)=3^{n}[/mm]

Jetzt kannst Du schreiben:

[mm]a(n+1)-a(n)=3*a(n)+1-a(n)=2*a(n)+1=3^{n}[/mm]

Daraus ergibt sich die explizite Darstellung.


>  Vielen Dank im Voraus, Gruß, Phluff


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
rek. in expl. Folge umwandeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:35 Di 17.08.2010
Autor: wieschoo

Guten Abend Nacht,

Wenn du allgemein eine rekusive Vorschrift [mm]f(n+N)=\sum_{i=0}^{N-1}a_if(n+i)[/mm] in eine explizite Vorschrift umwandeln möchtest, dann kannst du den allgemeinen Ansatz machen [mm]f(n)=\alpha \lambda^n[/mm]

Bei dir speziell gibt es aber noch ein kleines Probelm mit der Inhomogenität:
a(n+1)=3a(n)+1
Als erstes kann man die Inhomogenität beseitigen:
[mm]a(n+1) = 3a(n)+1[/mm]
[mm]a(n):=b(n)+c[/mm]
[mm]b(n+1)+c = 3(b(n)+c)+1[/mm]
[mm]b(n+1)=3b(n)+2c+1\Rightarrow c=0.5[/mm]
[mm]b(n+1)=3b(n)[/mm]

Das charakteristische Polynom von dem Ding ist
[mm]\lambda^{n+1}=3\lambda^n\gdw\lambda=3[/mm]
Also ist nach unseren Ansatz:
[mm]a(n)=b(n)+c=\alpha 3^n -0.5[/mm]
Schließlich
[mm]0=a(0)=\alpha3^0-0.5=\alpha-0.5\gdw\alpha=0.5[/mm]
Damit haben wir alles:
[mm]a(n)=0.5\cdot3^n-0.5=0.5(3^n-1)[/mm]


Bezug
        
Bezug
rek. in expl. Folge umwandeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Di 17.08.2010
Autor: fred97

Ich würde so vorgehen:

Es ist

[mm] a_1= [/mm] 1
[mm] a_2=3a_1+1= [/mm] 3+1
[mm] a_3=3a_2+1=3(3+1)+1= 3^2+3^1+3^0 [/mm]
[mm] a_4= [/mm] ....= [mm] 3^3+3^2+3^1+3^0 [/mm]


Vermutung:  [mm] a_n= 3^{n-1}+3^{n-2}+ ...+3^1+3^0 [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 1

Diese Vermutung beweise nun induktiv

Jetzt denke an die endliche geometrische Summe und Du bekommst

            [mm] a_n [/mm] = $ [mm] 0,5(3^n [/mm] $ -1)

FRED



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