rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo zusammen. Ich habe ein kleines Problem zu folgender Aufgabe:
Gegeben sei die rekursiv definierte Folge [mm] x_{1}=1, x_{n+1}=\bruch{x_{n}}{x_{n}+2}
[/mm]
Wir sollen nun zeigen, dass die Folgenglieder alle positiv sind und das die Folge monoton fallend ist.
Unsere Idee ist nun die vollständige Induktion anzuwenden. Allerdings fällt es uns leider ein bischen schwer dafür eine Induktionsvorraussetzung zu finden.
Wären für jede Hilfe dankbar. MFG mempys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mempys!
Für den Nachweis der positiven Folgenglieder lautet die Induktionsvoraussetzung [mm] $x_n [/mm] \ > \ 0$ .
Für den Nachweis der Monotonie müsst ihr zeigen, dass gilt:
[mm] $$x_n [/mm] \ > \ [mm] x_{n+1} [/mm] \ \ \ \ [mm] \text{bzw.} [/mm] \ \ \ \ [mm] x_n-x_{n+1} [/mm] \ > \ 0 \ \ \ \ [mm] \text{bzw.} [/mm] \ \ \ \ [mm] \bruch{x_n}{x_{n+1}} [/mm] \ > \ 1$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Di 27.05.2008 | | Autor: | mempys |
Okay fangen wir mal mit den positiven Folgengliedern an.
Es muss gelten, dass [mm] x_{n}\ge0
[/mm]
Kann ich nun direkt mit dem induktionsanfang beginnen??? Der wäre ja für n=0 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und für alle darauffolgenden Glieder demnach postitiv. Meiner Meinung nach müssen wir doch bestimmen, wie sich die Folge für [mm] n_{0} [/mm] oder [mm] n_{-1} [/mm] verhält oder???
MFG mempys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Di 27.05.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
der Induktionsanfang ist [mm] x_1 [/mm] = 1 [mm] \ge [/mm] 0. Der ist also per Voraussetzung erfüllt.
Dann nimmst Du an, dann [mm] x_n \ge [/mm] 0 ist und folgerst daraus, dass auch [mm] x_{n+1} \ge [/mm] 0 gilt.
Gruß,
Kyle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 28.05.2008 | | Autor: | torgi |
Hab ein Ähnliches Problem und bin mit dem Induktionsbeweis nicht so vertraut... meine Frage: wie folgere ich den nun von [mm] x_n \le [/mm] 0 auf [mm] x_{n+1} \le [/mm] 0?
danke und gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo torgi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst hier jeweils das Ungleichheitszeichen umdrehen. Wir sollen ja zeigen, dass alle [mm] $x_n$ [/mm] positiv sind.
Betrachte dann man den Ausdruck [mm] $x_{n+1} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{x_n}{x_n+2}$ [/mm] .
Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind gemäß Induktionsvoraussetzung positiv. Was bedeutet das für den Gesamtbruch?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Mi 28.05.2008 | | Autor: | torgi |
Oh ja verzeihe die gehören natürlich andersrum. Verstehen tue ich es jetzt. Man, dass ich auf sowas einfaches nie selbst komme. Wenn ich im Studium(Informatik) einen Algorithmus entwickeln soll klappt das sofort, doch wenn ich einen Beweisansatz finden muss steh ich aufm Schlauch.
Naja egal.
Vielen Danke und beste Grüsse aus Berlin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 28.05.2008 | | Autor: | torgi |
@loddar sind in deinen Monotomieformeln die Größerzeichen nicht falsch herum muss ich nicht wenn ich zeigen will, dass es monton fallend ist [mm] x_n [/mm] > [mm] x_{n+1} [/mm] zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo torgi!
Du hast Recht ... ich habe es oben nunmehr korrigiert.
Danke für den Hinweis!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 28.05.2008 | | Autor: | torgi |
Eins noch :) und zwar wüsste ich gern den Grenzwert der Folge. Meiner Meinung nach sollte dieser 0 sein jedoch:
bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}
[/mm]
erhalte ich -1 als Grenzwert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo torgi!
Die Bestimmungsgleichung $x \ = \ [mm] \bruch{x}{x+2}$ [/mm] hat zwei Lösungen.
Dabei muss der Wert [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -1$ logischerweise ausscheiden, da wir oben gezeigt haben, dass alle Folgenglieder positiv sind.
Damit verbleibt nur noch [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 0$ als Grenzwert.
Gruß
Loddar
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