rekursiv definierte Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mo 16.08.2010 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
a1 = 1/4 ; a(n+1) = (an)² + 1/4
konvergiert ist, indem Sie Monotonie und Beschränktheit nachweisen. Bestimmen Sie anschließend den Grenzwert der Folge. |
Hallo,
verstehe folgende Aufgabe einfach nicht:
Zeige, dass die rekursiv definierte Folge
a1 = 1/4 ; a(n+1) = (an)² + 1/4
konvergiert, indem du Monotonie und Beschränktheit nachweist.
Bestimme anschließend den Grenzwert.
...
Ist es ausreichend a2 anzugeben um die Monotonie nachzuweisen, wenn
a1 < a2 gilt?
Mit einer Induktionsannahme habe ich versucht die Beschränktheit nachzuweisen, jedoch stoße ich hier an meine Grenzen.
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke
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Hallo Andreas,
> Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
>
> a1 = 1/4 ; a(n+1) = (an)² + 1/4
>
> konvergiert ist, indem Sie Monotonie und Beschränktheit
> nachweisen. Bestimmen Sie anschließend den Grenzwert der
> Folge.
> Hallo,
>
> verstehe folgende Aufgabe einfach nicht:
>
> Zeige, dass die rekursiv definierte Folge
>
> a1 = 1/4 ; a(n+1) = (an)² + 1/4
Setze doch Indizes der besseren Lesbarkeit halber bitte mit dem Unterstrich!
a_{n+1} ergibt [mm] $a_{n+1}$, [/mm] das ist augenschonender 
>
> konvergiert, indem du Monotonie und Beschränktheit
> nachweist.
> Bestimme anschließend den Grenzwert.
>
> ...
>
> Ist es ausreichend a2 anzugeben um die Monotonie
> nachzuweisen, wenn
>
> a1 < a2 gilt?
Nein, das reicht natürlich nicht!
>
> Mit einer Induktionsannahme habe ich versucht die
> Beschränktheit nachzuweisen, jedoch stoße ich hier an
> meine Grenzen.
Dann solltest du uns an deiner Rechnung und deinen Gedanken teilhaben lassen, wir lesen hier keinen Kaffeesatz (zunmindest nur ungerne)
Welche obere Schranke hast du denn genommen und wie sieht der Einstieg in die Induktion aus?
Poste mal deinen Ansatz, der Nachweis ist nicht allzu schwer, wenn ich's dir hinschreibe, hast du nur wenig davon.
Lass uns besser zusammen an deinen Ansatz anknüpfen und ihn zurecht biegen ...
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
> Danke
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mo 16.08.2010 | | Autor: | Dante19 |
hi
ich habe folgenden Ansatz gewählt
an= an+1= (an)²+1/4
durch probieren ist mir aufgefallen, dass an+1 kleiner ist als (an)²+1/4, also ist es streng monoton abnehmend
die beschraenktheit bekomme ich nicht raus da fehlt mir einfach der Ansatz
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Hallo Dante,
na, das ist wahrlich eine göttliche Komödie...
> hi
>
> ich habe folgenden Ansatz gewählt
>
> an= an+1= (an)²+1/4
Ja, so war die Folge definiert.
schachuzipus bat Dich, für den Index die Syntax unseres Formeleditors zu gebrauchen:
[mm] a_{n+1}=(a_{n})^2+\bruch{1}{4}
[/mm]
Nun hast Du einen typischen Ansatz benutzt, um den Grenzwert der Folge zu finden (sofern er existiert), nämlich [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] gleichgesetzt. Dadurch erhältst Du eine quadratische Gleichung, in der nur noch [mm] a_n [/mm] vorkommt. Es gibt nur eine Lösung: welche?
> durch probieren ist mir aufgefallen, dass an+1 kleiner ist
> als (an)²+1/4, also ist es streng monoton abnehmend
Soso. Ich hoffe, Du hast mindestens die ersten abzählbar unendlich vielen Folgenglieder untersucht, dann könnte ich Deiner Aussage womöglich folgen. Ansonsten ist das blanker Unfug.
Du sollst zeigen, dass für [mm] n\to\infty [/mm] entweder gilt: [mm] a_{n+1}\le a_n [/mm] (dann müsste zusätzlich noch die Folge nach unten beschränkt sein...), oder aber [mm] a_{n+1}\ge a_n [/mm] (...bzw. nach oben).
> die beschraenktheit bekomme ich nicht raus da fehlt mir
> einfach der Ansatz
Na, untersuche doch erst einmal die beiden Fälle oben. Es steht das meiste schon da.
Übrigens hast Du uns [mm] a_1 [/mm] nicht verraten, aber irgendwas sagt mir, dass es [mm] <\tfrac{1}{2} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 16.08.2010 | | Autor: | Dante19 |
Hi
ich habe sehr ausfürhrlich ausgerechnet, dass die Folge streng monoton abnehmend ist, würde ja bedeuten das die Folge nach oben beschränkt ist
Es heißt, ja
Jede monoton abnehmende Folge (an) ist durch a0 nach oben beschränkt??
Mein Problem ist einfach folgendes wie kann ich die Beschränktheit rechnerisch beweisen ??
Dann habe ich auch noch ein Problem mit dem Grenzwert
Ich weiß das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ist, aber wie gehts dan weiter muss ich (an)²+1/4 gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen oder wie geht das ??
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
da wachsen mir ja noch mehr graue Haare als ich ohnehin schon habe!
> Hi
>
> ich habe sehr ausfürhrlich ausgerechnet, dass die Folge
> streng monoton abnehmend ist,
Ach was?
Wie sind denn deine ausführlich ausgerechneten Werte für $a_2, a_3$ etwa?
Nach meiner gar nicht so sehr ausführlichen Rechnung ist die Folge schön monoton wachsend
> würde ja bedeuten das die
> Folge nach oben beschränkt ist
Wenn sie monoton fallend wäre, müsste sie in der Tat durch $a_1=\frac{1}{4}$ nach oben beschränkt sein, aber schon $a_2=a_1^2+\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$ ist größer als $\frac{1}{4}=a_1$
>
> Es heißt, ja
>
> Jede monoton abnehmende Folge (an) ist durch a0 nach oben
> beschränkt??
>
> Mein Problem ist einfach folgendes wie kann ich die
> Beschränktheit rechnerisch beweisen ??
Nochmal, rechne die ersten 3-4 Folgenglieder aus, dann siehst du, dass die Folge monoton wachend ist.
Du musst also zeigen, dass sie nach oben beschränkt ist.
Zeige: $\forall n\in\IN: a_n\le\frac{1}{2}$ per Induktion
IA: $n=1$: $a_1=\frac{1}{4}\le\frac{1}{2}$ passt!
IS: Sei $n\in\IN$ und gelte $\red{a_n\le\frac{1}{2}}$ (IV)
zu zeigen: $a_{n+1}\le\frac{1}{2}$
dazu: $a_{n+1}=\red{a_n}^2+\frac{1}{4}$ nach Definition
$\red{\le\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ nach (IV)
$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
passt auch, damit ist die Beschränktheit gezeigt.
Nun zeige noch das monotone Wachstum!
Dazu zeige, dass $a_{n+1}\ge a_n$ für beliebiges $n\in\IN$
Also äquivalent $a_{n+1}-a_n}\ge 0$
Dazu brauchst du keine Induktion, lediglich die Definition der Rekursion.
> Dann habe ich auch noch ein Problem mit dem Grenzwert
> Ich weiß das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ist, aber wie
> gehts dan weiter muss ich (an)²+1/4 gegen [mm]\infty[/mm] laufen
> lassen oder wie geht das ??
Es ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Nenne diesen GW x, dann gilt für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
[mm] $x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_n^2+\frac{1}{4}\right)=x^2+\frac{1}{4}$
[/mm]
Also [mm] $x=x^2+\frac{1}{4}$
[/mm]
Das löse nach $x$ auf, um den GW zu bestimmen.
Also jetzt aber mal etwas Leistung von dir!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Di 17.08.2010 | | Autor: | Dante19 |
Ich bin ein bischen eingerostet, weil ich seit 1 Monat nichts mehr gemacht habe, aber egal
Bei der Beschränktheit hast du geschrieben das
[mm] \le [/mm] 1/2 ist per Induktion
wie hast du das den Mithilfe der Induktion rausbekommen??
danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Di 17.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du den post wirklich gelesen? da steht doch die Induktion?
Gruss leduart
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