rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] $a_{1}=1$, a_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n}}}$
[/mm]
a) Es soll gezeigt werden, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: $0 < [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n} \le [/mm] 1$.
b) Es soll gezeigt werden, dass die Folge konvergiert und deren Grenzwert bestimmt werden. |
Hallo!
bei a)
$0< [mm] a_{n+1}
Induktion
IA:
$n=1 ; [mm] a_{1+1}=a_{2}=\frac{2}{3}; [/mm]
[mm] 0<\frac{2}{3}< [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1
$n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$
[mm] $0
[mm] $a_{n+1}$ [/mm] kenne ich, aber was ist [mm] $a_{n+2}$...
[/mm]
bei b)
zeige ich dass der Wert von [mm] $a_{n}$ [/mm] monoton fallend ist und gegen 0 konvergiert und somit der Grenzwert [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist.
[mm] $0
aber hier weiss ich nicht was [mm] $a_{n}$ [/mm] ist, da ich nur [mm] $a_{n+1}$ [/mm] und [mm] $a_{1}$ [/mm] kenne...???
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und danke für jede Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Eine Folge [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] sei rekursiv definiert durch
>
> [mm]$a_{1}=1$, a_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n}}}$[/mm]
>
> a) Es soll gezeigt werden, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] gilt: [mm]0 < a_{n+1} < a_{n} \le 1[/mm].
> b) Es soll gezeigt werden, dass die Folge konvergiert und
> deren Grenzwert bestimmt werden.
> Hallo!
>
>
> bei a)
> [mm]0< a_{n+1}
> Induktion
>
> IA:
> $n=1 ; [mm]a_{1+1}=a_{2}=\frac{2}{3};[/mm]
> [mm]0<\frac{2}{3}<[/mm] 1 [mm]\le[/mm] 1
>
>
>
> [mm]n \rightarrow n+1[/mm]
>
> [mm]0
>
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] kenne ich, aber was ist [mm]a_{n+2}[/mm]...
[mm] a_{n+2}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n+1}}}
[/mm]
>
>
> bei b)
>
> zeige ich dass der Wert von [mm]a_{n}[/mm] monoton fallend ist und
> gegen 0 konvergiert und somit der Grenzwert [mm]\frac{1}{2}[/mm]
> ist.
Wie kann der Grenzwert gleichzeitig 0 und 1/2 sein ?????
>
> [mm]0
>
> aber hier weiss ich nicht was [mm]a_{n}[/mm] ist, da ich nur [mm]a_{n+1}[/mm]
> und [mm]a_{1}[/mm] kenne...???
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und
> danke für jede Antwort.
Wenn Du a) gezeigt hast, so folgt doch aus dem Monotoniekriterium, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert
Dei a der Grenzwert der Folge [mm] (a_n)
[/mm]
Aus [mm] a_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n}}} [/mm] folgt:
[mm] a=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Mo 22.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Wie kann der Grenzwert gleichzeitig 0 und 1/2 sein ?????
nein, das [mm] a_{n} [/mm] geht gegen 0 und [mm] a_{n+1} [/mm] geht dann gegen [mm] \frac{1}{2} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi kushkush,
> nein, das [mm]a_{n}[/mm] geht gegen 0 und [mm]a_{n+1}[/mm] geht dann gegen
> [mm]\frac{1}{2}[/mm]
Das kann nicht sein. [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] gehören doch zur selben Folge und die kann(,wenn sie denn konvergiert) nur genau einen Grenzwert haben (Stichwort:Eindeutigkeit des Grenzwertes). Diesen erhält man(,wenn die Konvergenz vorher gezeigt wurde), indem man die Gleichung, die Fred97 schon hingeschrieben hat, nach a auflöst.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mo 22.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hey Walde!
Freds Gleichung gibt mir ne quadratische Gleichung und dann erhalte ich ja wieder 2 Werte für den Grenzwert... ??
Aber wie zeige ich denn bei a) das mit der Induktion?
Danke euch beiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Walde |
> Hey Walde!
>
>
> Freds Gleichung gibt mir ne quadratische Gleichung und dann
> erhalte ich ja wieder 2 Werte für den Grenzwert... ??
Zunächst nur: mögliche Grenzwerte. Da einer der beiden negativ ist, du aber gezeigt hast, dass alle [mm] a_n>0 [/mm] sind, fällt der eine Kandidat weg und der andere ist es dann.
>
>
> Aber wie zeige ich denn bei a) das mit der Induktion?
Du warst schon auf dem richtigen Weg. Wie [mm] a_{n+2} [/mm] aussieht, hat ja fred geschrieben. Versuch den Bruch mal umzuformen (passend erweitern), dann müsste es eigentlich leicht zu sehen sein.
Aber denk dran, dass du nicht nur für alle [mm] n\in\IN: a_{n+1}0, [/mm] aber das ist eigentlich klar.)
>
>
> Danke euch beiden.
Gern geschehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 23.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Also setze ich ein:
[mm] $\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n+1}}}
dann löse ichs auf und erhalte etwas was STIMMT wie 0<1. Also ist die Behauptung richtig?
Oder muss ich zwingend auf die Schlussform [mm] $a_{n+2}
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also setze ich ein:
>
>
> [mm]\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n+1}}}
>
>
> dann löse ichs auf und erhalte etwas was STIMMT wie 0<1.
> Also ist die Behauptung richtig?
Zeig, wie Du es gemacht hast. Sonst kann man Dir nicht antworten.
>
> Oder muss ich zwingend auf die Schlussform [mm]a_{n+2}
Was versteht man in der 1. Klasse Grundschule unter zwingend ?
FRED
>
>
> Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja das ist richtig, wenn auch jeder der Schritte die du bei der Umformung machst rückwärts geht, denn dann könntest du ja auch hinten anfangen und bei [mm] a_{n+1}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mi 24.11.2010 | | Autor: | kushkush |
[mm] $\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}+2}
[mm] \gdw \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n+1}}}
[mm] \gdw a_{n+2} [/mm] < [mm] a_{n+1}$
[/mm]
Die Folge ist monoton fallend und fängt bei 1 an. Damit ist [mm] a_{n}\le [/mm] 1 gegeben und für
[mm] 0
für [mm] a_{1}: [/mm] 0<1
für [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] $0
[mm] \Rightarrow 0<\frac{1}{1+\frac{1}{a_{n}+1}}$ [/mm]
Ok, das stimmt.
damit habe ich das gezeigt.... richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}+2}
welche Schritte zeigen das <=> denn? wieso soll dir das jemand glauben?
> [mm]\gdw \frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{n+1}}}
> [mm]\gdw a_{n+2}[/mm] < [mm]a_{n+1}$[/mm]
>
> Die Folge ist monoton fallend und fängt bei 1 an. Damit
> ist [mm]a_{n}\le[/mm] 1 gegeben und für
>
>
> [mm]0
>
> für [mm]a_{1}:[/mm] 0<1
>
> für [mm]a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]$0
> [mm]\Rightarrow 0<\frac{1}{1+\frac{1}{a_{n}+1}}$[/mm]
auch hier fehlt ein Satz warum, auch wenn es fast trivial ist
> Ok, das stimmt.
hier ja aber das ist keine Induktion, da schliesst man aus [mm] a_n>0 [/mm] auf [mm] a_{n+1}>0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Mi 24.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> wieso soll dir das jemand glauben?
[mm] $\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}+2}
[mm] \frac{1}{1+\frac{1}{a_{n+1}+1}}
> hier ja aber das ist keine Induktion, da schliesst man aus
Verstehe ich nicht!
Wenn ich von [mm] $a_{n}$ [/mm] auf [mm] $a_{n+1}$ [/mm] schliesse, dann ist das doch Induktion....??
> Gruss leduart
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Teil jetzt ok.
Bei der Induktion fehlt : da [mm] a_n>0 [/mm] Zähler und Nenner >0 also [mm] a_{n+1}>0
[/mm]
man muss sich immer auf die Ind.vors. berufen.
damit ok.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 24.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok, dankeschön fred, Walde und leduart!!
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