rekursive Folgen Monotonie < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Test12 |
| Aufgabe | [mm] x_1=4 [/mm]
[mm] x_{n+1}=3*\wurzel{x_n} [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme, die Bestimmung von Monotonie bei rekursiven Folgen nachzuvollziehen. Im Unterricht haben wir zwar schon 3 Bsp gerechnet, aber ich sehe einfach keinen Leitfaden dahinter.
[mm] x_1=4 [/mm]
[mm] x_{n+1}=3*\wurzel{x_n}
[/mm]
Ich rechne das Bsp einmal so wie ich es machen würde:
Da durch die Folge mit hilfe des vorherigen Gliedes das nächste Glied(xn+1) ausgerechnet werden kann, rechne ich jetzt mal die ersten Glieder aus um einen Verdacht für die Monotonie zu haben.
<4/6/7,34/......>
Jetzt hab ich den verdacht,dass die Funktion monoton steigend ist, muss es aber anhand einer vollständigen Induktion beweisen.
Induktion:
Induktionsanfang: n=1
x1 [mm] \le [/mm] x2 => 4 [mm] \le 3*\wurzel{4} [/mm] Induktionsfanfang w.A.
Annahme:
xn-1 [mm] \le [/mm] xn
Behauptung:
xn [mm] \le [/mm] xn+1
Induktionsschritt:
xn [mm] \le 3*\wurzel{xn} /()^{2}
[/mm]
[mm] x_n^{2} \le 9*x_n
[/mm]
[mm] x_n^{2} [/mm] -9*xn [mm] \le [/mm] 0 /xn rausheben
[mm] x_n*(x_n-9) \le [/mm] 0
Jetzt sehe ich, dass wenn xn größer wie 9 wäre, die Monotonie nicht mehr erfüllt ist, daraus schließe ich, dass 9 die obere Schranke ist.
Hab ich die Monotonie mittels der Induktion bewiesen oder doch nicht?
Danke für eure Mühe ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 07.11.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Induktion:
>
> Induktionsanfang: n=1
> x1 [mm]\le[/mm] x2 => 4 [mm]\le 3*\wurzel{4}[/mm] Induktionsfanfang w.A.
Richtige Annahme.
> Annahme:
> xn-1 [mm]\le[/mm] xn
> Behauptung:
> xn [mm]\le[/mm] xn+1
> Induktionsschritt:
An dieser Stelle sollst du anmerken, dass [mm] x_{n}\ge [/mm] 0 [mm] \forall n\in\IN, [/mm] damit der erste Schritt überhaupt stimmt.
> xn [mm]\le 3*\wurzel{xn} /()^{2}[/mm]
> [mm]xn^{2} \le[/mm] 9*xn
> [mm]xn^{2}[/mm] -9*xn [mm]\le[/mm] 0 xn rausheben
Oder gleich durch [mm] x_{n} [/mm] teilen, wenn die Folge ab 4 monton hinaufwachsend ist, kann kein Glied Null sein.
> [mm] xn(xn-9)\le [/mm] 0
>
> Jetzt sehe ich, dass wenn xn größer wie 9 wäre, die
> Monotonie nicht mehr erfüllt ist, daraus schließe ich, dass
> 9 die obere Schranke ist.
Ja, schöne Sache, jetzt hast du einen Beweis, dass die Folge konvergent ist... falls du noch die Monotonie zeigst.
> Hab ich die Monotonie mittels der Induktion bewiesen oder
> doch nicht?
Nein, doch nicht. Du hast gezeigt, dass FALLS die Folge monoton ist, dann sie die 9 als obere Schranke hat.
Du sollst eher zeigen, dass [mm] \bruch{x_{n+1}}{x_{n}}\ge [/mm] 1 [mm] \forall n\in\IN.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 08.11.2007 | | Autor: | Test12 |
[mm] \bruch{xn+1}{xn} \ge [/mm] 1
Dann setz ich für xn+1 wie aus der Angabe ein=>
[mm] \bruch{3*\wurzel{xn}}{xn} \ge [/mm] 1 /bringe den Nenner auf die andere Seite
[mm] 3*\wurzel{xn} \ge [/mm] xn [mm] /()^{2}
[/mm]
9*xn [mm] \ge xn^{2}
[/mm]
Jetzt setz ich 9 ein und sehe dass die Folgerung richtig ist?
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Hallo Test!
> 9*xn [mm]\ge xn^{2}[/mm]
> Jetzt setz ich 9 ein und sehe dass die Folgerung richtig ist?
Einfach Zahlen einsetzen bringt nichts. Du musst das schon sauber weiter umformen:
[mm] $$9*x^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] x_n^2$$
[/mm]
$$0 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] x_n^2-9*x$$
[/mm]
$$0 \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] x_n*\left(x_n-9\right)$$
[/mm]
Dieses Produkt ist nun negativ, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben.
Dafür musst Du nun aber auch noch jeweils (mittels Induktion) beweisen, dass gilt: $0 \ < \ 4 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] x_n [/mm] \ < \ 9$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 08.11.2007 | | Autor: | Test12 |
Mit der Induktion die ich gemacht habe, wurde die obere Schranke ermittelt.
Nur jetzt weiß ich echt nicht mehr warum ich die vorherige Unformung gemacht habe und wie ich jetzt mittels Induktion die monotonie beweisen kann.
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Hallo Test12!
Die o.g. Induktion war doch bereits für die Monotonie der Folge. Dabei verwenden wir am Ende die Eigenschaft der oberen Schranke mit [mm] $x_n [/mm] \ < \ 9$ .
Allerdings muss dies nun noch gezeigt werden, was mit Vollständiger Induktion schnell gemacht ist:
[mm] $$x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 3*\wurzel{\red{x_n}} [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] 3*\wurzel{\red{9}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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