rekursive Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Do 10.05.2007 | | Autor: | dilek83 |
| Aufgabe | Gegeben Sei die folgende rekursive definierte Zahlenfolge:
[mm] X_{0} [/mm] := [mm] \wurzel{c}, X_{n+1} [/mm] := [mm] \wurzel{c+x_{n}}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert.
Hinweis: Zeigen Sie (z.B. per Induktion), dass die Folge monton und beschränkt ist. |
Hallo,
ich verstehe die aufgabenstellung nicht. deswegen weiß ich auch nicht, was ich hier machen soll.
wer kann mir dabei helfen,
ich danke schon mal im voraus :)
|
|
| |
|
> Gegeben Sei die folgende rekursive definierte Zahlenfolge:
> [mm]X_{0}[/mm] := [mm]\wurzel{c}, X_{n+1}[/mm] := [mm]\wurzel{c+x_{n}}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert, und berechnen
> Sie den Grenzwert.
> Hinweis: Zeigen Sie (z.B. per Induktion), dass die Folge
> monton und beschränkt ist.
> Hallo,
> ich verstehe die aufgabenstellung nicht. deswegen weiß ich
> auch nicht, was ich hier machen soll.
Hallo,
Du hast eine Folge rekursiv gegeben.
Sie funktioniert so: c ist eine konstante reelle Zahl. (Für das, was ich erkläre, kannst Du Dir z.B. c=5 denken.)
Nun definiert man eine Folge. Das Anfangsglied [mm] x_0 [/mm] erhält man, indem man aus c die Wurzel zieht, also [mm] x_0:=\wurzel{c}
[/mm]
Will man [mm] x_1 [/mm] wissen, wendet man das "Kochrezept" [mm] x_{n+1}:= \wurzel{c+x_{n}} [/mm] an:
[mm] x_1=x_{0+1}=\wurzel{c+x_{0}}=\wurzel{c+\wurzel{c}}
[/mm]
Nun [mm] x_2=x_{1+1}=\wurzel{c+x_{1}}=\wurzel{c+\wurzel{c+\wurzel{c}}}
[/mm]
und immer so weiter.
Irgendein Folgenglied erhält man, indem man das vorhergehende nimmt, c addiert, und aus der Summe die Wurzel zieht.
Zeigen sollst Du die Konvergenz der Folge, wenn Dir gelingt zu zeigen, daß sie monoton und beschränkt ist, hast Du das.
Eine Vermutung, ob die Funktion wächst oder fällt, liefert Dir ein Experiment: Taschenrechner...
Diese Vermutung mußt Du dann beweisen. Induktion wird Dir vermutlich helfen.
Für die Beschränktheit mußt Du eine Schranke finden. Sie darf ruhig groß sein.
Um den Grenzwert g zu berechnen, überlege Dir, daß, sofern er existiert, aus [mm] X_{n+1}[/mm] [/mm] := [mm][mm] \wurzel{c+x_{n}} [/mm] folgt [mm] g=\wurzel{c+g}.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du nun erstmal anfangen kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 10.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dilek!
Ergänzend zu Angela's Tipps möchte ich Dich noch auf diesen alten Thread aufmerksam machen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
So wie es aussieht ist c nicht definiert. Wäre sinnvoll erstmal rauszufinden, aus welcher menge c sein soll.
Für den fall das c beliebig ist, kannst du dich mit viel komplexen Unsinn rumschlagen.
Angenommen c [mm] \in \IR \wedge [/mm] c [mm] \ge [/mm] 0, dann kannst du die aufgabe so lösen, wie es vor mir ja schon gesagt wurde.
|
|
|
|
