rekursive folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Di 04.11.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Es sei [mm] x_0>0 [/mm] eine beliebige positive Zahl und a>0 fest vorgegeben. Definiere rekursiv die Folge [mm] (x_n)n\in \IN [/mm] durch
[mm] x_{n+1}= \bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})
[/mm]
Zeige: [mm] x_n^²\ge [/mm] 0 [mm] \forall n\ge1 [/mm] und [mm] x_{n+1}\le x_n \forall n\ge [/mm] 1.
Berechne x>0 mit [mm] x=\bruch{1}{2}(x+\bruch{a}{x}). [/mm] |
hallo, ich verwende vollst.induktion.
für den ersten teil setze ich im IA n=1 und erhalte die wahre aussage [mm] x_1^2 [/mm] = [mm] (\bruch{x_0}{2} +\bruch{a}{2x_0})^2\ge [/mm] 0
ich schreibe die IV und IB für [mm] x_n [/mm] bzw [mm] x_{n+1} [/mm] auf....
im IS beginne ich dann mit [mm] (x_{n+1})^2= [\bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})]^\bruch{1}{2}= \bruch{x_n^2}{4}+\bruch{a}{2}+\bruch{a^2}{x_n^2} [/mm] und mit der IV und wegen a>0 kann ich zeigen, dass jeder einzelne summand [mm] \ge [/mm] 0 und damit auch die summe [mm] \ge [/mm] 0. kann man das so einfach machen???
im 2.teil komme ich im IA nicht weiter:
n=1: z.z.: [mm] x_2\le x_1
[/mm]
[mm] x_2= \bruch{1}{2}(x_1 [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_1}) \le x_1 [/mm] + [mm] \bruch{a}{x_1}...........wie [/mm] zeige ich den rest?
und was ist im 3.teil gemeint mit "berechne"??
gruß und dank
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> Es sei [mm]x_0>0[/mm] eine beliebige positive Zahl und a>0 fest
> vorgegeben. Definiere rekursiv die Folge [mm](x_n)n\in \IN[/mm]
> durch
> [mm]x_{n+1}= \bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})[/mm]
>
> Zeige: [mm]x_n^²\ge[/mm] 0 [mm]\forall n\ge1[/mm] und [mm]x_{n+1}\le x_n \forall n\ge[/mm]
> 1.
> Berechne x>0 mit [mm]x=\bruch{1}{2}(x+\bruch{a}{x}).[/mm]
> hallo, ich verwende vollst.induktion.
> für den ersten teil setze ich im IA n=1 und erhalte die
> wahre aussage [mm]x_1^2[/mm] = [mm](\bruch{x_0}{2} +\bruch{a}{2x_0})^2\ge[/mm]
> 0
> ich schreibe die IV und IB für [mm]x_n[/mm] bzw [mm]x_{n+1}[/mm] auf....
> im IS beginne ich dann mit [mm](x_{n+1})^2= [\bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})]^\bruch{1}{2}= \bruch{x_n^2}{4}+\bruch{a}{2}+\bruch{a^2}{x_n^2}[/mm]
> und mit der IV und wegen a>0 kann ich zeigen, dass jeder
> einzelne summand [mm]\ge[/mm] 0 und damit auch die summe [mm]\ge[/mm] 0. kann
> man das so einfach machen???
>
>
> im 2.teil komme ich im IA nicht weiter:
Hallo,
ich würde vorschlagen, etwas anders als in der Anleitung vorzugehen - wahrscheinlich liegt da auch ein Druckfehler vor, denn die Erkenntnis, daß [mm] x_n^2\ge [/mm] 0 ist, ist ja nicht direkt 'ne Neuigkeit. Daß das Quadrat reeller Zahlen nichtnegativ ist, habt Ihr doch schon längst gezeigt.
Zeige folgendes:
A. [mm] x_n [/mm] >0 für alle n.
B. [mm] x_n^2 \ge [/mm] a für alle n
Wenn Du das hast, ist die Monotonie ein Klacks:
C. [mm] x_{n+1}\le x_n [/mm] für alle n
Ich vermute, daß Du die Konvergenz der Folge zeigen sollst, oder?
Du hast also eine monoton fallende Folge, von welcher Du irgendwie glaubhaft machen müßtest, daß sie nach unten beschränkt ist. (Wie Du das machst, kommt ein bißchen darauf an, was Dir zur Verfügung steht. Wenn Ihr schon Quadratwurzeln zur Verfügung habt, ist es ja kein Act.)
Wenn Du das hast, weißt Du, daß die Folge konvergiert. Nennen wir den Grenzwert x.
Überlege Dir, daß für den Grenzwert x folgendes gilt [mm] x=\bruch{1}{2}(x+\bruch{a}{x}).
[/mm]
> und was ist im 3.teil gemeint mit "berechne"??
Daß Du die Gleichung lösen sollst, also den Grenzwert der Folge berechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mi 05.11.2008 | | Autor: | gigi |
> Hallo,
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> ich würde vorschlagen, etwas anders als in der Anleitung
> vorzugehen - wahrscheinlich liegt da auch ein Druckfehler
> vor, denn die Erkenntnis, daß [mm]x_n^2\ge[/mm] 0 ist, ist ja nicht
> direkt 'ne Neuigkeit. Daß das Quadrat reeller Zahlen
> nichtnegativ ist, habt Ihr doch schon längst gezeigt.
>
> Zeige folgendes:
>
> A. [mm]x_n[/mm] >0 für alle n.
>
> B. [mm]x_n^2 \ge[/mm] a für alle n
ja, wäre wirklich logischer, das zu zeigen! aber würde es prinzipiell richtig sein, was ich oben gemacht habe??
>
> Wenn Du das hast, ist die Monotonie ein Klacks:
>
> C. [mm]x_{n+1}\le x_n[/mm] für alle n
könntest du mir da mit meinem problem im IA weiterhelfen, bitte? steht ja alles oben
>
>
> Ich vermute, daß Du die Konvergenz der Folge zeigen sollst,
> oder?
> Du hast also eine monoton fallende Folge, von welcher Du
> irgendwie glaubhaft machen müßtest, daß sie nach unten
> beschränkt ist. (Wie Du das machst, kommt ein bißchen
> darauf an, was Dir zur Verfügung steht. Wenn Ihr schon
> Quadratwurzeln zur Verfügung habt, ist es ja kein Act.)
>
> Wenn Du das hast, weißt Du, daß die Folge konvergiert.
> Nennen wir den Grenzwert x.
>
> Überlege Dir, daß für den Grenzwert x folgendes gilt
> [mm]x=\bruch{1}{2}(x+\bruch{a}{x}).[/mm]
>
> > und was ist im 3.teil gemeint mit "berechne"??
>
> Daß Du die Gleichung lösen sollst, also den Grenzwert der
> Folge berechnen.
darauf bin ich nicht gekommen, weil wir weder grenzwerte noch konvergenz hatten und es auch nicht in der aufgabe steht. aber ich würdes trotzdem gern versuchen! wie genau zeige ich denn die konvergenz bzw, wie berechne ich den grenzwert?
>
> Gruß v. Angela
>
besten dank und gruß
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> > ich würde vorschlagen, etwas anders als in der Anleitung
> > vorzugehen - wahrscheinlich liegt da auch ein Druckfehler
> > vor, denn die Erkenntnis, daß [mm]x_n^2\ge[/mm] 0 ist, ist ja nicht
> > direkt 'ne Neuigkeit. Daß das Quadrat reeller Zahlen
> > nichtnegativ ist, habt Ihr doch schon längst gezeigt.
> >
> > Zeige folgendes:
> >
> > A. [mm]x_n[/mm] >0 für alle n.
> >
> > B. [mm]x_n^2 \ge[/mm] a für alle n
>
> ja, wäre wirklich logischer, das zu zeigen! aber würde es
> prinzipiell richtig sein, was ich oben gemacht habe??
Hallo,
ich würde mich wirklich mal bei den Chefs erkundigen, ob das nicht [mm]x_n^2 \ge[/mm] a heißen sollte.
Abgesehen davon, daß man keine Induktion braucht um zu zeigen, daß das Quadrat reeller Zahlen nichtnegativ ist, ist in Deiner Induktion für [mm]x_n^2\ge[/mm] 0 ein Fehler.
Du schreibst:
" für den ersten teil setze ich im IA n=1 und erhalte die wahre aussage $ [mm] x_1^2 [/mm] $ = $ [mm] (\bruch{x_0}{2} +\bruch{a}{2x_0})^2\ge [/mm] $ 0
ich schreibe die IV und IB für $ [mm] x_n [/mm] $ bzw $ [mm] x_{n+1} [/mm] $ auf....
im IS beginne ich dann mit $ [mm] (x_{n+1})^2= [\bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})]^\bruch{1}{2}= \bruch{x_n^2}{4}+\bruch{a}{2}+\bruch{a^2}{x_n^2} [/mm] $ und mit der IV und wegen a>0 kann ich zeigen, dass jeder einzelne summand $ [mm] \ge [/mm] $ 0 und damit auch die summe $ [mm] \ge [/mm] $ 0. kann man das so einfach machen??? "
Was aber ist, wenn irgendein [mm] x_n=0 [/mm] ist? Wegen dieses Problems geht die Induktion so nicht.
Daher meine ich, daß Du zeigen solltest, daß [mm] x_n>0 [/mm] ist für alle n, oder eben (wenn's denn unbedingt sein soll) [mm] x_n^2>0.
[/mm]
> >
> > Wenn Du das hast, ist die Monotonie ein Klacks:
> >
> > C. [mm]x_{n+1}\le x_n[/mm] für alle n
>
> könntest du mir da mit meinem problem im IA weiterhelfen,
Wie ich bereits sagte: wenn Du vorher zeigst, daß [mm] x_n^20 [/mm] ist das kein großes Problem.
Du hattest
> > > $ [mm] x_2= \bruch{1}{2}(x_1 [/mm] $ + $ [mm] \bruch{a}{x_1}) [/mm]
[mm] =x_1 +\bruch{a}{2x_1}-\bruch{1}{2}x_1=x_1 +\bruch{1}{2x_1}(a-x_1^2)\le [/mm] ...
Mit [mm] x_n^2\ge [/mm] a und [mm] x_n>0 [/mm] bist du hier aus dem Schneider und kannst sagen, daß [mm] \bruch{1}{2x_1}(a-x_1^2)\le [/mm] 0 ist.
> weil wir weder grenzwerte
> noch konvergenz hatten
Achso. Na, dann lös' einfach die Gleichung.
> und es auch nicht in der aufgabe
> steht. aber ich würdes trotzdem gern versuchen! wie genau
> zeige ich denn die konvergenz bzw, wie berechne ich den
> grenzwert?
Die Konvergenz erhältst Du daraus, daß die Folge monoton fallend und beshränkt ist, und den Grenzwert errechnest Du durch Lösen der Gleichung.
Der Gedanke: wenn die Folge [mm] (x_n) [/mm] den Grenzwert x hat, dann gilt aufgrund der Rekursion für den Grnzwert die besagte Gleichung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 05.11.2008 | | Autor: | gigi |
> Du schreibst:
>
> " für den ersten teil setze ich im IA n=1 und erhalte die
> wahre aussage [mm]x_1^2[/mm] = [mm](\bruch{x_0}{2} +\bruch{a}{2x_0})^2\ge[/mm]
> 0
> ich schreibe die IV und IB für [mm]x_n[/mm] bzw [mm]x_{n+1}[/mm] auf....
> im IS beginne ich dann mit [mm](x_{n+1})^2= [\bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})]^\bruch{1}{2}= \bruch{x_n^2}{4}+\bruch{a}{2}+\bruch{a^2}{x_n^2}[/mm]
> und mit der IV und wegen a>0 kann ich zeigen, dass jeder
> einzelne summand [mm]\ge[/mm] 0 und damit auch die summe [mm]\ge[/mm] 0. kann
> man das so einfach machen??? "
>
> Was aber ist, wenn irgendein [mm]x_n=0[/mm] ist? Wegen dieses
> Problems geht die Induktion so nicht.
in der aufgabe ist [mm] x_0 [/mm] doch definiert durch [mm] x_0>0.
[/mm]
>
> Daher meine ich, daß Du zeigen solltest, daß [mm]x_n>0[/mm] ist für
> alle n, oder eben (wenn's denn unbedingt sein soll)
> [mm]x_n^2>0.[/mm]
>
>
> > >
> > > Wenn Du das hast, ist die Monotonie ein Klacks:
> > >
> > > C. [mm]x_{n+1}\le x_n[/mm] für alle n
> >
> > könntest du mir da mit meinem problem im IA weiterhelfen,
>
> Wie ich bereits sagte: wenn Du vorher zeigst, daß [mm]x_n^2
> und [mm]x_n>0[/mm] ist das kein großes Problem.
>
> Du hattest
>
> > > > $ [mm]x_2= \bruch{1}{2}(x_1[/mm] $ + $ [mm]\bruch{a}{x_1})[/mm]
>
> [mm]=x_1 +\bruch{a}{2x_1}-\bruch{1}{2}x_1=x_1 +\bruch{1}{2x_1}(a-x_1^2)\le[/mm]
> ...
>
> Mit [mm]x_n^20[/mm] bist du hier aus dem Schneider und
> kannst sagen, daß [mm]\bruch{1}{2x_1}(a-x_1^2)\le[/mm] 0 ist.
so, wie du die 2.zeile der gleichung geschrieben hast, hatte ich es aber nicht dastehen--und ich verstehe auch nicht, wie du auf [mm] x_1 +\bruch{a}{2x_1}-\bruch{1}{2}x_1 [/mm] kommst?
und wenn [mm] x_n^20! [/mm] wie kann dann der ganze ausdruck [mm] \le0 [/mm] werden???
>
> > weil wir weder grenzwerte
> > noch konvergenz hatten
>
> Achso. Na, dann lös' einfach die Gleichung.
>
>
> > und es auch nicht in der aufgabe
> > steht. aber ich würdes trotzdem gern versuchen! wie genau
> > zeige ich denn die konvergenz bzw, wie berechne ich den
> > grenzwert?
>
> Die Konvergenz erhältst Du daraus, daß die Folge monoton
> fallend und beshränkt ist, und den Grenzwert errechnest Du
> durch Lösen der Gleichung.
>
> Der Gedanke: wenn die Folge [mm](x_n)[/mm] den Grenzwert x hat, dann
> gilt aufgrund der Rekursion für den Grnzwert die besagte
> Gleichung.
>
> Gruß v. Angela
>
>
gruß zurück
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> > Du schreibst:
> >
> > " für den ersten teil setze ich im IA n=1 und erhalte die
> > wahre aussage [mm]x_1^2[/mm] = [mm](\bruch{x_0}{2} +\bruch{a}{2x_0})^2\ge[/mm]
> > 0
> > ich schreibe die IV und IB für [mm]x_n[/mm] bzw [mm]x_{n+1}[/mm] auf....
> > im IS beginne ich dann mit [mm](x_{n+1})^2= [\bruch{1}{2}(x_n+ \bruch{a}{x_n})]^\bruch{1}{2}= \bruch{x_n^2}{4}+\bruch{a}{2}+\bruch{a^2}{x_n^2}[/mm]
> > und mit der IV und wegen a>0 kann ich zeigen, dass jeder
> > einzelne summand [mm]\ge[/mm] 0 und damit auch die summe [mm]\ge[/mm] 0. kann
> > man das so einfach machen??? "
> >
> > Was aber ist, wenn irgendein [mm]x_n=0[/mm] ist? Wegen dieses
> > Problems geht die Induktion so nicht.
>
> in der aufgabe ist [mm]x_0[/mm] doch definiert durch [mm]x_0>0.[/mm]
Hallo,
ja. Deshalb wäre es ja so einfach zu zeigen, daß [mm] x_n>0 [/mm] ist.
Worauf es mir ankommt: Du berufst Dich in Deinem Induktionsschluß auf [mm] x_n^2\ge [/mm] 0, und das nützt Dir nichts, weil Du bisher =0 nicht irgendwie ausgeschlossen hast.
Du könntest aber auch folgendes tun: zeige statt [mm] x_n^2\ge [/mm] 0 lieber [mm] x_n^2>0.
[/mm]
das ist erstens interessanter und zweitens ist das oben angesprochene problem damit elegant verschwunden.
> >
> > Daher meine ich, daß Du zeigen solltest, daß [mm]x_n>0[/mm] ist für
> > alle n, oder eben (wenn's denn unbedingt sein soll)
> > [mm]x_n^2>0.[/mm]
> >
> >
> > > >
> > > > Wenn Du das hast, ist die Monotonie ein Klacks:
> > > >
> > > > C. [mm]x_{n+1}\le x_n[/mm] für alle n
> > >
> > > könntest du mir da mit meinem problem im IA weiterhelfen,
> >
> > Wie ich bereits sagte: wenn Du vorher zeigst, daß [mm]x_n^2
> > und [mm]x_n>0[/mm] ist das kein großes Problem.
> >
> > Du hattest
> >
> > > > > $ [mm]x_2= \bruch{1}{2}(x_1[/mm] [mm]+[/mm] [mm]\bruch{a}{x_1})[/mm]
> >
> > [mm]=x_1 +\bruch{a}{2x_1}-\bruch{1}{2}x_1=x_1 +\bruch{1}{2x_1}(a-x_1^2)\le[/mm]
> > ...
> >
> > Mit [mm]x_n^20[/mm] bist du hier aus dem Schneider und
> > kannst sagen, daß [mm]\bruch{1}{2x_1}(a-x_1^2)\le[/mm] 0 ist.
>
> so, wie du die 2.zeile der gleichung geschrieben hast,
> hatte ich es aber nicht dastehen--
Nein, das hab' ich ja auch nicht behauptet.
> und ich verstehe auch
> nicht, wie du auf [mm]x_1 +\bruch{a}{2x_1}-\bruch{1}{2}x_1[/mm]
> kommst?
na, dann überleg mal, was bei [mm] x_1-\bruch{1}{2}x_1 [/mm] herauskommt.
> und wenn [mm]x_n^2
Das war ein echter Schusselfehler: da soll das völlige Gegenteil stehen, nämlich [mm] x_n^2\ge [/mm] a - die Aussage, über die ich ständig rede, und von der ich meine, daß man sie zuvor beweisen sollte.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 06.11.2008 | | Autor: | gigi |
ja, super, danke! habe jetzt eigentlich alles ganz gut hinbekommen,
1. den beweis für [mm] x_n>0
[/mm]
[mm] 2.(x_n)^2 \ge [/mm] a
3. [mm] x_{n+1} \le x_n
[/mm]
nur eine frage noch zum 2.punkt, der IA:
n=1: [mm] x_1^2= \bruch{1}{4}(x_0+ \bruch{a}{x_0})^2=.....\ge [/mm] a
wie forme ich hier geschickt um? ich kann ja nur [mm] x_0 [/mm] >0 und a>0 verwenden.
tschau und danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Do 06.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> ja, super, danke! habe jetzt eigentlich alles ganz gut
> hinbekommen,
> 1. den beweis für [mm]x_n>0[/mm]
> [mm]2.(x_n)^2 \ge[/mm] a
> 3. [mm]x_{n+1} \le x_n[/mm]
>
> nur eine frage noch zum 2.punkt, der IA:
> n=1: [mm]x_1^2= \bruch{1}{4}(x_0+ \bruch{a}{x_0})^2=.....\ge[/mm]
> a
>
> wie forme ich hier geschickt um? ich kann ja nur [mm]x_0[/mm] >0 und
> a>0 verwenden.
wenn ich mich nicht irre, musst Du beim Induktionsanfang (n=1) zeigen, dass [mm] $x_1^2\geqslant [/mm] 0$ und nicht wie Du geschrieben hast [mm] $x_1^2\geqslant [/mm] a$. Dass aber [mm] $x_1^2\geqslant [/mm] 0$ ist, hast Du ja schon gut begründet. Denn da [mm] $x_0>0$ [/mm] und $a>0$ sind, folgt direkt [mm] $\bruch{1}{4}(x_0+ \bruch{a}{x_0})^2>0$. [/mm] Damit ist der Induktionsanfang gezeigt.
> tschau und danke
Gruß
Denny
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> ja, super, danke! habe jetzt eigentlich alles ganz gut
> hinbekommen,
> 1. den beweis für [mm]x_n>0[/mm]
> [mm]2.(x_n)^2 \ge[/mm] a
> 3. [mm]x_{n+1} \le x_n[/mm]
>
> nur eine frage noch zum 2.punkt, der IA:
> n=1: [mm]x_1^2= \bruch{1}{4}(x_0+ \bruch{a}{x_0})^2=.....\ge[/mm]
> a
>
> wie forme ich hier geschickt um? ich kann ja nur [mm]x_0[/mm] >0 und
> a>0 verwenden.
Hallo,
[mm] x_1^2= \bruch{1}{4}(x_0+ \bruch{a}{x_0})^2 =\bruch{1}{4}(x_0^2+2a+\bruch{a^2}{x_0^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(x_0^2+2a+\bruch{a^2}{x_0^2})-a+a
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(x_0^2 [/mm] - [mm] 2a+\bruch{a^2}{x_0^2})+a
[/mm]
= ( ... [mm] )^2 [/mm] +a [mm] \ge [/mm] ...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Fr 07.11.2008 | | Autor: | gigi |
danke! sag mal wie lange/wieviel aufgaben muss man rechnen, damit man solche ideen automatisch hat?!
gruß
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> danke! sag mal wie lange/wieviel aufgaben muss man rechnen,
> damit man solche ideen automatisch hat?!
Hallo,
erstens mal kommt da natürlich drauf an, ob man ein Händchen für sowas hat. Wer geschickt ist, sieht's halt gleich...
Aber sowas ist wirklich auch Erfahrungs- und Übungssache. Je mehr Aufgaben man gerechnet hat, desto mehr hat man dabei "erlebt", und aus diesem Erfahrungsschatz kann man dann schöpfen.
Gruß v. Angela
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