rekursive folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Di 09.06.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
wenn man man den grenzwert einer rekursiven folge [mm] \phi [/mm] betrachtet, für die gilt [mm] x_{k+1}=\phi(x_k) [/mm] dann berechnet man die in dem man einfach
[mm] x=\phi(x) [/mm] nach x auflöst und erhält somit seinen grenzwert.
implizit gehe ich ja davon aus, dass der grenzwert existiert nur was wäre wenn dies nicht der fall ist? bekomme ich dann kein ergebnis? finde leider kein beispiel.
kann es auch einen fall geben, in dem für [mm] x=\phi(x) [/mm] nach x aufgelöst ein ergebnis gewonnen wird, aber nicht der grenzwert der folge ist?
danke schonmal im voraus :)
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Di 09.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
Nimm zum Beispiel die Fibonaccci-Folge [mm] $F_{n+2} [/mm] \ = \ [mm] F_{n+1}+F_n$ [/mm] .
Hier würde man doch glatt den "Grenzwert" 0 erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 09.06.2009 | | Autor: | AriR |
also läuft die argumentation eher so:
man zeigt erst, dass es einen fixpunkt gibt und der eindeutig ist.
danach löst man [mm] x=\phi(x) [/mm] nach x auf und erhält einen fixpunkt. da es nur einen eindeutigen fixpunkt gibt, muss es der berechnete sein.
ist das so richtig?
falls ja, erhält man den fixpunkt immer, indem man [mm] x=\phi(x) [/mm] nach x auflöst?
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Nimm zum Beispiel phi(x) = [mm] x^2. [/mm] Hier konvergiert die Folge ebenfalls nicht immer. (Nämlich nur, falls [mm] |x_0| [/mm] <= 1).
Allerdings wage ich zu bezweifeln, dass [mm] phi(x_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] für den Grenzwert notwendig ist.
Hierzu ist wohl die Stetigkeit von phi notwendig.
Gruß
TW
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