rekursive folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Fr 14.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!
bei dieser aufgabe soll man monotonie und beschränktheit prüfen. [mm] a_{1}=3,a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}},durch [/mm] einsetzten habe ich erkannt dass sie gegen 2 konvergiert und monoton fallend ist aber ich habe keine ahnung wie man das beweisen soll!
gruß und danke
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Hallo mini111,
> hallo!
> bei dieser aufgabe soll man monotonie und beschränktheit
> prüfen.
> [mm]a_{1}=3,a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}},durch[/mm]
> einsetzten habe ich erkannt dass sie gegen 2 konvergiert
> und monoton fallend ist aber ich habe keine ahnung wie man
> das beweisen soll!
> gruß und danke
Zur Beschränkheit:
zu zeigen ist hier, daß die Folgenglieder alle größer als der Wert a sind, konkret:
[mm]a_{n+1}-a \ge 0[/mm]
Die Monotonie zeigst Du, wenn Du zwei Folgenglieder vergleichst, also z.B. hier:
[mm]a_{n+1} \le a_{n}[/mm]
Den Grenzwert dieser Folge rechnet Du aus, in dem Du
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a [/mm]
setzt und die Gleichung
[mm]a=\bruch{a}{2}+\bruch{2}{a}[/mm]
löst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Sa 15.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo mathepower,
vielen dank für deine hilfe,du sagtest ja um die beschränktheit zu zeigen,bräuchte man diese formel: [mm] a_{n+1}-a\ge0 [/mm] aber man weiß ja eigentlich noch gar nicht a(ok a ist 2)aber muss man das nicht erst mit der grenzwert formel: [mm] a=\bruch{a}{2}+ \bruch{2}{a} [/mm] berechnen bevor man mit a die beschränktheit prüft?auf jeden fall habe ich dann bei dem grenzwert a=+-2 raus,es ist ja nur +2 aber mit welcher begründung,dass es nicht -2 ist??dann habe ich die beschränktheit versucht zu zeigen,durch einsetzen habe ich dann: [mm] \bruch{a_{n}^2+4-4*a_{n}}{2*a_{n}}\ge0 [/mm] ,bei dem [mm] a_{n}\ge-4 [/mm] und [mm] a_{n}\ge0 [/mm] heraus kommt???bei der monotonie habe [mm] ich:\bruch{a_{n}^2+4}{2*a_{n}}\ge0?
[/mm]
da stimmt doch was nicht oder?
gruß und danke
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> um die
> beschränktheit zu zeigen,bräuchte man diese formel:
> [mm]a_{n+1}-a\ge0[/mm] aber man weiß ja eigentlich noch gar nicht
> a(ok a ist 2)aber muss man das nicht erst mit der grenzwert
> formel: [mm]a=\bruch{a}{2}+ \bruch{2}{a}[/mm] berechnen bevor man
> mit a die beschränktheit prüft?
Hallo,
wie Du zu einer unteren Schranke kommst, ist völlig egal.
Du mußt zum Zeigen der Beschränktheit nach unten auch nicht unbedingt [mm] a_n\ge [/mm] 2 zeigen, wenn Du zeigen würdest, daß [mm] a_n\ge [/mm] -4711, wäre das genauso richtig.
> auf jeden fall habe ich dann
> bei dem grenzwert a=+-2 raus,es ist ja nur +2 aber mit
> welcher begründung,dass es nicht -2 ist??
Wenn Du z.B. gezeigt hast, daß die Folge monoton fällt und nach unten durch 1 beschränkt ist, kann -2 nicht ihr Grenzwert sein.
> dann habe ich die
> beschränktheit versucht zu zeigen,durch einsetzen
> habe ich
> dann: [mm]\bruch{a_{n}^2+4-4*a_{n}}{2*a_{n}}\ge0[/mm] ,bei dem
> [mm]a_{n}\ge-4[/mm] und [mm]a_{n}\ge0[/mm] heraus kommt???
Naja, Teile davon sind durchaus brauchbar.
Ich denke, daß die Probleme daher kommen, daß Du unterwegs vrgessen hast, was Du wie zeigen wolltest. Wahrscheinlich hast Du Dir's nicht aufgeschrieben, ich rate Dir sehr, auch auf Schmierpapier zu notieren, was Du eigentlich zeigen willst. Sonst rechnet man irgendwas und weiß am Ende nicht, was man damit soll. Ich spreche aus Erfahrung...
Ich nehme mal stark an, daß Du zeigen möchtest, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] nach unten durch 2 beschränkt ist.
Also
zu zeigen: es ist [mm] a_n [/mm] - 2 [mm] \ge [/mm] 0 für alle [mm] \IN.
[/mm]
Hier böte sich ein Beweis durch Induktion an.
Induktionsanfang: ...
Induktionsvoraussetzung: ...
Induktionsschluß:
zu zeigen: dann ist auch [mm] a_{n+1} [/mm] - 2 [mm] \ge [/mm] 0 für alle [mm] \IN.
[/mm]
Bew.: es ist
[mm] a_{n+1} [/mm] - 2= ... Nun verwende die Rekursion und anschließend die Ind.voraussetzung.
> bei der monotonie
> habe [mm]ich:\bruch{a_{n}^2+4}{2*a_{n}}\ge0?[/mm]
> da stimmt doch was nicht oder?
Wenn Du nicht nur Ergebnisse prasentieren würdest, sondern auch den Weg zeigen, könnte man viel leichter sagen, wo eventuelle Fehler liegen.
Wie kommst Du darauf, daß etwas nicht stimmt? Was gefällt Dir nicht?
(Ich glaube übrigens, daß Du nur einen Vorzeichenfehler in Deiner Rechnung hast. Ich glaube aber auch, daß Du unterwegs vergessen hast, was Du zeigen möchtest.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 15.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela,
danke für deine hilfe.also bei der induktion habe ich so meine schwierigkeiten,der anfang ist ja noch klar,zb.für n=2 [mm] a_{2}=13/6 [/mm] >2 aber dann bei der voraussetzung habe [mm] ich:a_{n+1}-2=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}=\bruch{a_{n}^2+4-4*a_{n}}{2*a_{n}}\ge0 [/mm] ,so aber weiter weiß ich mir nicht zu helfen...dann zur monotonie,da habe [mm] ich:a_{n}-a_{n+1}\ge0; a_{n}-\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}=\bruch{a_{n}^2+4}{2*a_{n}}\ge0 [/mm] ist das damit fertig?kann man sagen der bruch ist auf jedenfall größer als 0 und damit stimmt die ungleichung.im zähler ist ja ein quadrat,da stimmts aber was ist mit dem nenner [mm] 2*a_{n} [/mm] kann das nur größer als 0 sein???
gruß
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Hallo mini111,
> hallo angela,
>
> danke für deine hilfe.also bei der induktion habe ich so
> meine schwierigkeiten,der anfang ist ja noch klar,zb.für
> n=2 [mm]a_{2}=13/6[/mm] >2 aber dann bei der voraussetzung beim Induktionsschritt! habe
> [mm] ich:a_{n+1}-2=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}\red{-2}=\bruch{a_{n}^2+4-4*a_{n}}{2*a_{n}} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] \left[=\frac{(a_n-2)^2}{2a_n}\right] \ge0
[/mm]
ja das musst du noch begründen - s. dazu unten
> ,so aber weiter weiß ich mir nicht zu helfen...dann zur
> monotonie,da habe [mm]ich:a_{n}-a_{n+1}\ge0; a_{n}-\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}=\bruch{a_{n}^2+4}{2*a_{n}}\ge0[/mm]
> ist das damit fertig?kann man sagen der bruch ist auf
> jedenfall größer als 0 und damit stimmt die ungleichung.im
> zähler ist ja ein quadrat ,da stimmts aber was ist mit dem
> nenner [mm]2*a_{n}[/mm] kann das nur größer als 0 sein???
Das "gleiche" Problem mit dem Nenner hattest du ja auch obern schon bei dem Beschränktheitsnachweis
Da hast du ja in der Induktionsvoraussetzung [mm] $a_n-2\ge [/mm] 0$, also [mm] $a_n\ge [/mm] 2$
Und damit [mm] $\blue{2}a_n\ge\blue{2}\cdot{}2=4>0$
[/mm]
Also sind Zähler [mm] \ge [/mm] 0 und Nenner > 0, also insgesamt der Bruch..
(sowohl bei der Beschränktheit als auch bei der Monotonie)
> gruß
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Sa 15.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo schachuzipus,
vielen dank für die hilfe,ich habe es jetzt verstanden:))
gruß
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>...dann zur
> monotonie,da habe [mm]ich:a_{n}-a_{n+1}\ge0; > a_{n}-\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}=\bruch{a_{n}^2+4}{2*a_{n}}\ge0[/mm]
Hallo,
ich ahnte es, Du hast eine Klammer vergessen:
[mm] a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-( \bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}} [/mm] ) [mm] =\bruch{a_{n}^2\red{-}4}{2*a_{n}},
[/mm]
und daß dies größer als 0 ist, kannst schnell begründen, denn Du hast ja gezeigt, daß [mm] a_n \ge [/mm] 2 ist.
An dieser Stelle bewährt sich, daß Du als untere Schranke gleich den Grenzwert genommen hast, denn mit [mm] a_n \ge [/mm] -4711 ättest Du hier nichts anfangen können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 15.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela,
ich danke auch dir nochmal!!
lieben gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 16.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe noch eine aufgabe von diesem typ gefunden und [mm] zwar:a_{1}=0 a_{n+1}=1+\bruch{3}{1+a_{n}},die [/mm] pendelt ja für werte gegen unendlich zwischen ein wenig über und unter 2,dann ist sie ja weder monoton fallend noch steigend oder?wenn ich aber einsetze [mm] in:a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-1-\bruch{3}{1+a_{n}}=\bruch{a_{n}^2-4}{1+a_{n}}und [/mm] das ist doch [mm] \ge [/mm] 0 oder und dann müsste die doch eigentlich fallend sein oder?
gruß
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> hallo,
>
> ich habe noch eine aufgabe von diesem typ gefunden und
> [mm]zwar:a_{1}=0 a_{n+1}=1+\bruch{3}{1+a_{n}},die[/mm] pendelt ja
> für werte gegen unendlich zwischen ein wenig über und unter
> 2,dann ist sie ja weder monoton fallend noch steigend
> oder?wenn ich aber einsetze
> [mm]in:a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-1-\bruch{3}{1+a_{n}}=\bruch{a_{n}^2-4}{1+a_{n}}und[/mm]
> das ist doch [mm]\ge[/mm] 0 oder und dann müsste die doch eigentlich
> fallend sein oder?
Hallo,
Du sagst doch selbst, daß [mm] a_n [/mm] mal größer und mal kleiner als 2 ist.
Also ist [mm] \bruch{a_{n}^2-4}{1+a_{n}} [/mm] mal größer und mal kleiner als 0,
guck Dir hierfür den Zähler an.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 So 16.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo
ja ok,stimmt,danke!!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 So 16.03.2008 | | Autor: | abakus |
> hallo,
>
> ich habe noch eine aufgabe von diesem typ gefunden und
> [mm]zwar:a_{1}=0 a_{n+1}=1+\bruch{3}{1+a_{n}},die[/mm] pendelt ja
> für werte gegen unendlich zwischen ein wenig über und unter
> 2,dann ist sie ja weder monoton fallend noch steigend
> oder?wenn ich aber einsetze
> [mm]in:a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-1-\bruch{3}{1+a_{n}}=\bruch{a_{n}^2-4}{1+a_{n}}und[/mm]
> das ist doch [mm]\ge[/mm] 0 oder und dann müsste die doch eigentlich
> fallend sein oder?
> gruß
Hallo,
du sagtest ein paar Zeilen weier oben:
"pendelt ja für werte gegen unendlich zwischen ein wenig über und unter 2".
Dann ist auch der Zähler [mm] a_{n}^2-4 [/mm] deines Bruches abwechseld ein wenig über und ein wenig unter Null. Somit ist es auch nichts mit durchgängig fallendem Verhalten..
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 16.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
oh ich habe doch noch kurz eine kleine frage,ist die folge denn damit konvergent?nee oder?
gruß
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Konvergent heißt, dass die Folge sich einem Grenzwert annähert, und dass sie für n [mm] \to \infty [/mm] diesen annimmt. Tut sie das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 16.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo
ja tut sie!ich dachte nur weil sie ja von beiden seiten sich annähert,vlt nicht!aber ok dann doch!;)
gruß und danke
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> ja tut sie!ich dachte nur weil sie ja von beiden seiten
> sich annähert,vlt nicht!
Hallo,
schau Dir die Definition von Konvergenz genau an: steht da etwas von "nur von einer Seite" drin?
Nein, oder?
Ich weiß aber, was in deinem Kopf vorgeht: Du weißt, daß Folgen, die monoton fallend und beschränkt sind, konvergieren.
Die Umkehrung ist aber nicht richtig!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 16.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo ihr lieben,
ich habe nochmal eine frage zum gleichen thema aber es ist eine andere aufgabe,nämlich:für [mm] \lambda\ge0 [/mm] a:= 1 [mm] a_{n+1}:=2*\wurzel{a_{n}}+\lambda [/mm] hinweis:zeigen sie mon.wachsend und dass sie die obere schranke [mm] (2+\lambda)^2 [/mm] hat
die beschränktheit habe ich denke ich,bewiesen aber zur monotonie,habe [mm] ich:a_{n}-a_{n+1}\le0 \Rightarrow a_{n}-2*\wurzel{a_{n}}-\lambda\le0 [/mm] und um zu prüfen dass diese ungleichung gilt,habe ich für [mm] a_{n} [/mm] das größtmögliche eingestezt und das ist [mm] ja:(2+\lambda)^2 [/mm] und dann steht [mm] da:(2+\lambda)^2-(2*\wurzel{(2+\lambda)^2}-\lambda=\lambda^2+\lambda\le0 [/mm] und das stimmt ja nicht,das hieße ja das die folge mon.fallend ist,stimmt doch aber nicht,wo ist mien fehler?könnt ihr mir da helfen?
gruß
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> hallo ihr lieben,
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> ich habe nochmal eine frage zum gleichen thema aber es ist
> eine andere aufgabe,nämlich:für [mm]\lambda\ge0[/mm] a:= 1
> [mm]a_{n+1}:=2*\wurzel{a_{n}}+\lambda[/mm] hinweis:zeigen sie
> mon.wachsend und dass sie die obere schranke [mm](2+\lambda)^2[/mm]
> hat
> die beschränktheit habe ich denke ich,bewiesen aber zur
> monotonie,habe [mm]ich:a_{n}-a_{n+1}\le0 \Rightarrow a_{n}-2*\wurzel{a_{n}}-\lambda\le0[/mm]
> und um zu prüfen dass diese ungleichung gilt,habe ich für
> [mm]a_{n}[/mm] das größtmögliche eingestezt und das ist
> [mm]ja:(2+\lambda)^2[/mm] und dann steht
> [mm]da:(2+\lambda)^2-(2*\wurzel{(2+\lambda)^2}-\lambda=\lambda^2+\lambda\le0[/mm]
> und das stimmt ja nicht,das hieße ja das die folge
> mon.fallend ist,stimmt doch aber nicht,wo ist mien
> fehler?könnt ihr mir da helfen?
Hallo,
achte darauf, daß Du Deine Ungleichungsketten sorgfältig betreust.
Du möchtest also zeigen, daß [mm] a_{n}-a_{n+1}= a_{n}-2*\wurzel{a_{n}}-\lambda \le [/mm] 0 gilt.
Es ist
[mm] a_{n}-a_{n+1}= a_{n}-2*\wurzel{a_{n}}-\lambda [/mm] ...
nun mußt Du ja nach oben abschätzen, also mit [mm] \le
[/mm]
[mm] a_{n}-a_{n+1}= a_{n}-2*\wurzel{a_{n}}-\lambda \le [/mm] ...
Wenn Du nun überall für [mm] a_n [/mm] den größtmöglichen Wert einsetzt, erleidest Du Schiffbruch,
denn es ist ja [mm] a_{n}-2*\wurzel{a_{n}}-\lambda \ge a_{n}-2*\wurzel{(2+\lambda)^2}-\lambda
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 16.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine hilfe.ich glaube,dass ich es jetzt verstanden habe,bin mir aber nicht sicher.stimmt das dann [mm] so?:a_{n}-2*\wurzel{(2+\lambda)^2}-\lambda=a_{n}-4-3*\lambda\le0 \Rightarrow a_{n}\le4+3*\lambda??
[/mm]
gruß
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Hallo,
Du mußt bei Ungleichungen sehr aufpassen, daß Du keinen Murks machst.
Wenn man versucht, bei so etwas mit irgendwelchen Äquivalenzumformungen o.ä. zum Ziel zu kommen, rechnet man sich leicht um Kopf und Kragen, denn es mu0ß ja unterwegs abgeschätzt werden.
Mach immer schöne Ungleichungsketten, und paß auf, daß das Zeichen immer in dieselbe Richtung zeigt und daß Du nur bewiesene Abschätzungen machst.
Beides ist bei Dir schiefgegangen:
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} \red{\ge}
[/mm]
> [mm] a_{n}-2*\wurzel{(2+\lambda)^2}-\lambda=a_{n}-4-3*\lambda \blue{\le } [/mm] 0 ,
und woher weißt Du, daß [mm] a_{n}-4-3*\lambda \blue{\le } [/mm] 0 richtig ist?
Ich habe einiges herumprobiert, ich bin auf ganz direktemWege nicht zum Ziel gekommen.
Ich zeige das mit Induktion:
z.z. [mm] a_{n+1}-a_n \ge [/mm] 0 für alle n
Ind.anfang n=1: [mm] a_2 -a_1=2\wurzel{1}+\lambda [/mm] -1= [mm] 1+\lambda \ge [/mm] 0, denn [mm] \lambda \ge [/mm] 0
Indvor.: es gelte [mm] a_{n+1}-a_n \ge [/mm] 0 für alle n
Ind.schluß: zu zeigen [mm] a_{n+2}-a_{n+1}\ge [/mm] 0 für alle n
Bew.:
[mm] a_{n+2}-a_{n+1}=2\wurzel{a_{n+1}}+\lambda -2\wurzel{a_n}+\lambda =2\wurzel{a_{n+1}}- 2\wurzel{a_n} =2(\wurzel{a_{n+1}}- \wurzel{a_n}) =2(\wurzel{a_{n+1}}- \wurzel{a_n}) \bruch{(\wurzel{a_{n+1}}+ \wurzel{a_n})}{(\wurzel{a_{n+1}}+ \wurzel{a_n})} =2*\bruch{a_{n+1}-a_n}{(\wurzel{a_{n+1}}+ \wurzel{a_n})}\ge [/mm] ...
Nun überleg' Dir, warum ich hier mit [mm] \ge [/mm] 0 abschätzen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mo 17.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für die hilfe!!!ja also man kann [mm] \ge0 [/mm] abschätzen weil der [mm] nenner\ge0 [/mm] wegen der wurzel sein muss und der zähler [mm] \ge0,weil [/mm] das in der induktionsvorraussetzung steht?dann zum [mm] grenzwert:\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a \Rightarrow a=2*\wurzel{a}+\lambda=a^2-4*a-\lambda^2=0,bei [/mm] dem grenzwert weiß ich auch nicht wirklich was ich da weiter machen soll oder reicht das schon?
gruß
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>man kann [mm]\ge0[/mm] abschätzen
> weil der [mm]nenner\ge0[/mm] wegen der wurzel sein muss
Hallo,
weil da Wurzeln addiert werden
> und der
> zähler [mm]\ge0,weil[/mm] das in der induktionsvorraussetzung
> steht?
Genau.
> dann zum [mm] grenzwert:\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a \Rightarrow [/mm]
> [mm] a=2*\wurzel{a}+\lambda=a^2-4*a-\lambda^2=0
[/mm]
Die Gleichung stimmt doch nicht.
Richtig ist Dein Anfang:
die Folge ist monoton und beschränkt, also konvergiert sie.
Für den Grenzwert a gilt
[mm] a=2*\wurzel{a}+\lambda.
[/mm]
Dies ist nun nach a aufzulösen,
... <==> [mm] 2*\wurzel{a}=a- \lambda [/mm] .
Quadrieren, lösen.
Das ist dann eine quadratische Gleichung, und wenn Dir das Lösen mit a schwer fällt, taufe a um in x.
Gruß v. Angela
> ,bei[
> dem grenzwert weiß ich auch nicht wirklich was ich da
> weiter machen soll oder reicht das schon?
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mo 17.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo angela,
ich bekomme da ne ganz komsiche kiste raus.Ich glaub ich habe nen brett vorm kopf oder so;)
du sagtest [mm] ja:2*\wurzel{a}=a-\lambda \gdw 4*a=(a-\lambda)^2 \gdw 0=a^2-4*a-2*a*\lambda+\lambda^2 [/mm] und da kommt dann was ganz merkwürdiges für a raus,sowas wie [mm] a=-\lambda [/mm] und [mm] a=4*a+2*a*\lambda+\lambda
[/mm]
grüße
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> hallo angela,
> ich bekomme da ne ganz komsiche kiste raus.Ich glaub ich
> habe nen brett vorm kopf oder so;)
> du sagtest [mm]ja:2*\wurzel{a}=a-\lambda \gdw 4*a=(a-\lambda)^2 \gdw 0=a^2-4*a-2*a*\lambda+\lambda^2[/mm]
Hallo,
soweit ist alles in Ordnung. Vergiß nicht, daß Du nach a auflösen willst!
Das ist doch eine quadratische Gleichung:
[mm] 0=a^2 [/mm] - 2(2 + [mm] \lambda)a +\lambda^2,
[/mm]
und was Du mit dieser getrieben hast, kannich gerade nicht rekonstruieren.
Du bekommst sie jedenfalls mit quadratischer Ergänzung [mm] (a^2 [/mm] - 2(2 + [mm] \lambda)a =-\lambda^2) [/mm] oder mit der pq-Formel unter Kontrolle. Das [mm] \lambda [/mm] behandle so, als stünde da eine Zahl. Zu lösen ist nach a.
Gruß v. Angela
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