rel. extrema < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Es sei f(x) = [mm] (x^{4}-1)*e^{-x^{2}}
[/mm]
a) Bestimmen sie die relativen Extrema von f
b) Bestimmen sie sup f(x) und inf f(x) mit xER |
Hallo!
Das bestimmen der relativen Extrema ist mir ja eigentlich klar, aber ich komme auf total komische Ergebnisse und scheine einen Fehler in der REchnung zu haben.
und zwar habe ich
f'(x) = [mm] e^{-x^{2}}*(-2x^{5}+4x^{3}+2x)
[/mm]
dies mit null gleichgesetzt ergäbe: [mm] x_1 [/mm] = 0
und daraus muss: [mm] -2x^{4}+4x^{2}+2 [/mm] = 0
nun mit der Substitution [mm] x^{2}= [/mm] z
mit der MItternachtsformel gelöst,komme ich auf ein negatives Ergebnis... was ja nicht sein darf für die Resubstitution. Wenn ich mir das ganze nun zeichnen lasse, sind die Extremstellen bei x= 0; -1,55 und 1,55
kann mir jemand helfen?
danke!
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> Es sei f(x) = [mm](x^{4}-1)*e^{-x^{2}}[/mm]
>
> a) Bestimmen sie die relativen Extrema von f
> b) Bestimmen sie sup f(x) und inf f(x) mit xER
> Hallo!
morgen 
>
> Das bestimmen der relativen Extrema ist mir ja eigentlich
> klar, aber ich komme auf total komische Ergebnisse und
> scheine einen Fehler in der REchnung zu haben.
>
> und zwar habe ich
> f'(x) = [mm]e^{-x^{2}}*(-2x^{5}+4x^{3}+2x)[/mm]
>
> dies mit null gleichgesetzt ergäbe: [mm]x_1[/mm] = 0
>
> und daraus muss: [mm]-2x^{4}+4x^{2}+2[/mm] = 0
> nun mit der Substitution [mm]x^{2}=[/mm] z
> mit der MItternachtsformel gelöst,komme ich auf ein
> negatives Ergebnis...
für z bekommst du am ende doch [mm] 1\pm\sqrt2
[/mm]
dann kommt davon für [mm] x^2 [/mm] nur [mm] 1+\sqrt2 [/mm] in frage. dann ist [mm] x=\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}
[/mm]
> was ja nicht sein darf für die
> Resubstitution. Wenn ich mir das ganze nun zeichnen lasse,
> sind die Extremstellen bei x= 0; -1,55 und 1,55
>
> kann mir jemand helfen?
>
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, komisch.
ich weiss leider nicht wie ich von
-2 [mm] z^{2} [/mm] + 4z +2 = 0 auf die [mm] 1+\wurzel{2} [/mm] kommen soll:
bei mir sieht das in der mitternachtsformel dann naemlich so aus:
z1,2 = [mm] \bruch{-4 +/- \wurzel{16-4*-2*2}}{-4}
[/mm]
und das ist nicht das was du hast:(
wo steckt der fehler?
danke!
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Hallo Katja,
> hm, komisch.
>
>
> ich weiss leider nicht wie ich von
>
> -2 [mm]z^{2}[/mm] + 4z +2 = 0 auf die [mm]1+\wurzel{2}[/mm] kommen soll:
weniger fehleranfällig ist die p/q-Formel, klammere zunächst mal $-2$ aus:
[mm] $...\gdw -2\cdot{}(z^2-2z-1)=0\gdw z^2-2z-1=0\gdw z_{1,2}=\underbrace{-\left(\frac{-2}{2}\right)}_{=1}\pm\sqrt{1^2-(-1)}=1\pm\sqrt{2}$
[/mm]
>
> bei mir sieht das in der mitternachtsformel dann naemlich
> so aus:
>
> z1,2 = [mm]\bruch{-4 +/- \wurzel{16-4*-2*2}}{-4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und das ist nicht das was du hast:(
> wo steckt der fehler?
Da ist kein Fehler (bis auf unschöne Schreibweise ohne Klammern)
Fasse es doch weiter zusammen:
[mm] $=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{-4}=\frac{-4\pm\sqrt{16\cdot{}2}}{-4}=\frac{-4\pm4\cdot{}\sqrt{2}}{-4}=\frac{-4\cdot{}\left[1\mp\sqrt{2}\right]}{-4}=1\mp\sqrt{2}$
[/mm]
>
> danke!
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm ja die p/q-formel irgendwie mag ich die mitternachtsformel lieber, wobei mir auch schon aufgefallen ist, dass man da weniger umformen muss...
na gut next time;)
jetzt noch eine frage zu der b
wegen sup und inf.
supremum ist die kleinste obere Schranke
und infinum die größte untere schranke.
aber ich weiss nicht, wie ich das bei funktionen verwenden soll.
für x gegen plus oder minus unendlich naeher sich die Funktion 0+ an.
aber da die funktion ja ein minimum bei x= 0 f(x) = -1 ist das ja eher das INfinum... verwirrt bin?
kann mir das jemand nochmal erklären, wie das genau mit Supremum und INfinum abläuft?
Danke!
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> jetzt noch eine frage zu der b
> wegen sup und inf.
>
> supremum ist die kleinste obere Schranke
> und infinum die größte untere schranke.
> aber ich weiss nicht, wie ich das bei funktionen
> verwenden soll.
gemeint ist einfach das Supremum bzw. das
Infimum der Wertemenge, also der Menge
aller möglichen y-Werte
> für x gegen plus oder minus unendlich naehert sich die
> Funktion 0+ an.
> aber da die funktion ja ein minimum bei x= 0 f(x) = -1 ist
> das ja eher das INfinum... verwirrt bin?
Ja. bei der vorliegenden Funktion ist das Infimum
gleich dem absoluten Minimum -1 an der Stelle
x=0 und das Supremum gleich dem absoluten
Maximum in den beiden Hochpunkten.
Bei den Funktionen, die als Faktoren in f(x)
vorkommen, wäre es folgendermaßen:
[mm] x^4-1:
[/mm]
Infimum=Minimum=-1 an der Stelle x=0
Supremum und Maximum existieren nicht, weil
die y-Werte gegen [mm] \infty [/mm] streben für [mm] |x|\to\infty
[/mm]
[mm] e^{-x^2}:
[/mm]
Supremum=Maximum=1 an der Stelle x=0
Minimum existiert nicht
Infimum=0, weil [mm] \limes_{x\to\pm\infty}{e^{-x^2}}=0
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke, ich denke nun hab ich es verstanden!
lieben gruss!
katja
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