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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mo 02.02.2009 | | Autor: | brichun |
| Aufgabe | Bestimme die Extrempunkte von
[mm] f(x,y)= 3xy^2+4x^3-3y^2-12x^2+1[/mm] |
notwendige Bedingung ist
[mm] fx=0[/mm]
[mm] fy=0[/mm]
Hab dann erst fx und fy bestimmt
[mm] fx=3y^2+12x^2-24x[/mm]
[mm] fy=6xy-6y [/mm]
fx =0 und nach y aufgelöst
[mm] y=\wurzel{8x-4x^2}[/mm]
in fy eingesetzt
[mm]0=\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}-\wurzel{36(8x-4x^2)}[/mm]
die Gleichung quadriert
[mm]0=36x^2(8x-4x^2)-36(8x-4x^2)[/mm]
hab dann für
[mm] x1=0 [/mm]
[mm] x2=1[/mm]
[mm] x3=2[/mm]
[mm] x4= -1 [/mm]
jetzt stimmt
[mm] x4 = -1 [/mm] nicht mit der Lösung zusammen find aber meinen Fehler nicht.
Die Lösungen
P1 (1/2)
P2 (1/-2)
P3 (2/0)
P4 (0/0)
laut Lösung gibts x4=-1 nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mo 02.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimme die Extrempunkte von
>
> [mm]f(x,y)= 3xy^2+4x^3-3y^2-12x^2+1[/mm]
> notwendige Bedingung ist
> [mm]fx=0[/mm]
> [mm]fy=0[/mm]
Okay
>
> Hab dann erst fx und fy bestimmt
> [mm]fx=3y^2+12x^2-24x[/mm]
> [mm]fy=6xy-6y[/mm]
Auch korrekt
>
> fx =0 und nach y aufgelöst
> [mm]y=\wurzel{8x-4x^2}[/mm]
>
> in fy eingesetzt
> [mm]0=\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}-\wurzel{36(8x-4x^2)}[/mm]
>
> die Gleichung quadriert
> [mm]0=36x^2(8x-4x^2)-36(8x-4x^2)[/mm]
Hier ist auf jeden Fall ein Fehler, denn [mm] \left(\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}-\wurzel{36(8x-4x^2)}\right)^{2}\ne\left(\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}\right)^{2}-\left(\wurzel{36(8x-4x^2)}\right)^{2}
[/mm]
Ausserdem hast du die "negative" Wurzel beim Auflösen nach y nicht beachtet.
[mm] 3y^{2}+12x²-24x=0
[/mm]
[mm] \gdw 3y^{2}=24x-12x²
[/mm]
[mm] \gdw y^{2}=8x-4x²
[/mm]
[mm] \gdw y=\red{\pm}\wurzel{8x-4x²}
[/mm]
Ich würde auch [mm] f_{y}=0 [/mm] nach x auflösen, dann wirds übersichtlicher und leichter:
[mm] f_{y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 6xy-6y=0
[mm] \gdw [/mm] 6xy=6y
[mm] \gdw [/mm] x=1 (Mache aber die Fallunterscheidung y=0)
Also:
x=1 in [mm] f_{x}:
[/mm]
3y²+12*1²-24*1
[mm] \gdw [/mm] 3y²-12
Mit [mm] f_{x}=0:
[/mm]
[mm] y^{2}=4
[/mm]
[mm] \gdw y=\pm2
[/mm]
>
>
> hab dann für
>
> [mm]x1=0[/mm]
>
> [mm]x2=1[/mm]
>
> [mm]x3=2[/mm]
>
> [mm]x4= -1[/mm]
>
> jetzt stimmt
> [mm]x4 = -1[/mm] nicht mit der Lösung zusammen find aber meinen
> Fehler nicht.
>
>
> Die Lösungen
>
> P1 (1/2)
> P2 (1/-2)
> P3 (2/0)
> P4 (0/0)
>
> laut Lösung gibts x4=-1 nicht
Marius
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> Hallo
>
> > Bestimme die Extrempunkte von
> >
> > [mm]f(x,y)= 3xy^2+4x^3-3y^2-12x^2+1[/mm]
> > notwendige Bedingung
> ist
> > [mm]fx=0[/mm]
> > [mm]fy=0[/mm]
>
> Okay
>
> >
> > Hab dann erst fx und fy bestimmt
> > [mm]fx=3y^2+12x^2-24x[/mm]
> > [mm]fy=6xy-6y[/mm]
>
> Auch korrekt
>
> >
> > fx =0 und nach y aufgelöst
> > [mm]y=\wurzel{8x-4x^2}[/mm]
> >
> > in fy eingesetzt
> > [mm]0=\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}-\wurzel{36(8x-4x^2)}[/mm]
> >
> > die Gleichung quadriert
> > [mm]0=36x^2(8x-4x^2)-36(8x-4x^2)[/mm]
>
> Hier ist auf jeden Fall ein Fehler, denn
> [mm]\left(\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}-\wurzel{36(8x-4x^2)}\right)^{2}\ne\left(\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}\right)^{2}-\left(\wurzel{36(8x-4x^2)}\right)^{2}[/mm]
Hallo Marius,
da brichun die Aufgabe sicherheitshalber gleich dreimal gestellt hat (brichun, mach sowas nie wieder!) , habe ich mich auch gerade damit beschäftigt.
Ich habe zwar auch den fürchterlichen Verdacht, daß er hier so verkehrt gerechnet hast, wie Du befürchtest, das Ergebnis stimmt aber:
[mm] 0=\wurzel{36x^2(8x-4x^2)}-\wurzel{36(8x-4x^2)} [/mm] <==> [mm] \wurzel{36x^2(8x-4x^2)}=\wurzel{36(8x-4x^2)}
[/mm]
==> [mm] 36x^2(8x-4x^2)=36(8x-4x^2) [/mm] ==> [mm] 0=36x^2(8x-4x^2)-36(8x-4x^2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 02.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Angela
Stimmt, das geht bei =0 auf der anderen Seite.
Aber das geht eben auch NUR dann, und das war mein erster Gedanke, dass da der Fehler drin war.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 02.02.2009 | | Autor: | brichun |
Sorry, hab nicht gewusst das es 3 mal drin steht. wollte nur meinen Text verändern.
[mm] 0=36x^2(8x-4x^2)-36(8x-4x^2)[/mm]
So hab ich es doch auch gemacht
Wenn ich das dann weiter auflöse sieht es so aus
[mm] -4x^4+8x^3-8x+4x^2=0[/mm]
[mm] x(-4x^3+8x^2+4x-8)=0[/mm]
x1=0
Das kommt bei dem inneren Teil raus
x2=1
x3=2
x4=-1
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Hallo brichun,
soweit ich sehe, hast Du völlig richtig gerechnet.
Zu [mm] x_4=-1 [/mm] gibt es allerdings kein y. Das müsste ja so aussehen:
[mm] y_4=\pm\wurzel{8x_4-4x_4^2}=\pm\wurzel{-12}
[/mm]
Fällt Dir was auf?
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Mo 02.02.2009 | | Autor: | brichun |
zu
x=-1 gibts kein y da die Wurzel negativ ist
Lösungen nur über Komplexe Rechnung möglich
jetzt passts wusste nicht das ich die x4=-1 einfach vernachlässigen kann da negative Wurzel.
Ich dachte eher, dass ich einen Fehler in der Rechnung hab.
Vielen Dank für die Hilfe
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