relativen Extrema < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Sa 25.11.2006 | | Autor: | pisty |
Gesucht sind die relativen Extrema ... nur komme ich am anfang schon nicht weiter.
[mm] f(x,y)=3x^2y+4y^3-12y+8
[/mm]
[mm]f'x=6xy[/mm]
[mm] f'y=3x^2+12y^2-12
[/mm]
[mm]\00=6*x*y[/mm]
[mm] 0=3x^2+12y^2-12
[/mm]
Wie setzte ich diese beiden Formeln gleich, sodass ich die Nullstellen berechnen kann?
Vielen Dabk
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Hallo.
Was folgt denn aus 6*x*y = 0? Dann muß doch entweder x oder y = 0 sein. Damit gehst Du nun in die zweite Gleichung (Fallunterscheidung!).
Gruß von Torsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 26.11.2006 | | Autor: | pisty |
habe hier mal einen Lösungsvorschlag zur Aufgabe:
Aufgabe hier: Bestimmen Sie alle relativen Extrama der Funktion:
[mm] f(x,y)=3x^2+4y^3-12y+8
[/mm]
Meine Lösung:
f'x=6xy
[mm] f'y=3x^2+12y^2-12
[/mm]
f'xx=6y
f'yy=24y
f'xy=6x
f'yx=6x
0=6*x*y
[mm] 0=3x^2+12y^2-12
[/mm]
aus 0=6*x*y erhalte ich y=0 -> dies setze ich in [mm] 0=3x^2+12y^2-12 [/mm] ein und erhalte [mm] 0=3x^2-12
[/mm]
Die Nullstellen lauten: x1=-2 und x2=2
folglich lauten die Punkte: P1(-2;0) , P2(2;0)
jetzt kommt folgende formel für die Extremwertberechnung:
D=fxx * fyy - [mm] f(xy)^2
[/mm]
folglich ist bei Punkt 1 ein Extrema,da 12>0 ist.
jetzt setze ich diesen Punkt in fxx ein und erhalte jedoch 0=0
Was habe ich falsch gemacht?
Vielen Dank
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Hallo.
Ich verstehe nicht, was Du ab der Gleichung mit dem D machst. Erklär das nochmal genauer. Du hast mit [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] zwei Kandidaten für Extrempunkte gefunden und willst jetzt testen, ob die Matrix der zweiten Ableitungen positiv oder negativ definit ist, richtig? Wenn ich die beiden Punkte in D einsetzte, kommt doch -144 raus, also sind dort lokale Maxima. Analog muß man rechnen, wenn aus 6xy = 0 im zweiten Fall x = 0 folgt.
Gruß von Torsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 26.11.2006 | | Autor: | pisty |
eine kurze Vorstellung des Lösungsverfahren:
- jeweils das partielle Differential bilden
Also einmal x (heißt dann fx), das andere Mal y (heißt dann fy) als Konstante behandeln.
- jeweils =0, setzen, auflösen, ggf. ineinander einsetzen, damit erhält man P0(x/y)
- dann jeweils die 2te Ableitung bilden, also fx nach x und fy nach y und fx nach y
- die Infos in die Formel einsetzen:
D = fxx(P0) * fyy(P0) - [mm] (fxy(P0))^2 [/mm]
wenn D >0:
--> wenn fxx(P0) <0 rel. Maximum
--> wenn fyy(P0) >0 rel. Minimum
wenn D< 0: Sattelpunkt
wenn D=0: keine Aussage möglich
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Hallo.
Ja, genauso geht's. Wo ist das Problem? Was meintest Du damit, daß 0=0 rauskommt?
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