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| Aufgabe | Herr Geizkragen legt jedes Jahr 1800 am Jahresende auf einem Sparbuch an, lässt sich aber jeweils gleichzeitig die Zinsen des Vorjahres auszahlen und versteckt sie in seinem Wandtresor. Frau Sparfuchs dagegen zahlt jährlich am 31.12. auf ein Sparkonto der gleichen Bank 1700 ein, lässt die Zinsen aber auf dem Konto stehen.
a) Nach wieviel Jahren ist bei einem konkreten Sparbuchzins von 4,5% das so erworbene Vermögen bei Frau Sparfuchs erstmals höher als das von Herrn Geizkragen (einschließlich des Inhalts des Wandtresors)?
b) Wie hoch war der im betrachteten Zeitraum konstante Zinssatz i, wenn Frau Sparfuchs' Vermögen das Vermögen von Herrn Geitkragen erstmals nach 10 Jahren überflügelt hat? |
So, ich habe diese Aufgabe zu lösen und habe Probleme, für beide die richtigen Formeln zu finden.
Also, ich habe mir erstmal für Frau Sparfuchs überlegt:
Sie hat ja kein Kapital zusätzlich angelegt, sondern nur die Rentenzahlungen, also handelt es sich bei ihr wohl um einfache nachschüssige Rente. Ich habe also folgende formel aufgestellt:
En nach = 1700* [mm] ((1,045)^n [/mm] -1)/0,045
So, und nun zu Herrn Geitkragen ;)
Also bei ihm habe ich Probleme, die Formel aufzustellen. Es handelt bei hm erstmal auch um nachschüssige Rente. Aber er hebt ja jedes Jahr die Zinsen ab, daher kann ich nicht einfach die Formel von oben verwenden, sondern muss sie irgendwie umstellen. und hier habe ich das problem.
wenn er jedes jahr geld einzahlt, aber gleichzeitig geld abhebt, dann ist es ja eigentlich so, dass bei ihm nicht einfach R in der Formel konstant ist, sondern sich ändert.
Nun dachte ich, dass ich anstatt R (also 1800) einsetzte (R - Zinsen zum Zeitpunkt n-1).
Aber wie kann ich das formal ausdrücken? Und kann man das überhaupt machen oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Wie es dann weitergeht, weiß ich, ich muss dann bei beiden formeln in eine Ungleichung packen und nach n umstellen. aber ohne formel geht das ja leider nicht..
Könntem ir bitte jemand helfen, die formel für herrn geizkragen zu finden?
Danke im Voraus,
die_conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Tavaril |
hi conny
hab die aufgaben gestern alle fertig gemacht.
Ich hab die formel für jährliche nachschüssige rente mit einfacher verzinsung genommen.
denn die rate bleibt ja konstant, aber die zinsen werden sozusagen nicht mitverzinst. Die formel für den Endwert nach n jahren ist dann:
E=n*R*(1+(n-1)/2*i)
hier:
E=n*1800*(1+(n-1)/2*0,045)
mit den beiden formeln müsstest du eigentlich alle aufgabenteile lösen können, halt einfach umstellen, je nachdem was gefragt ist :)
Bis montag, Ines
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Also, ich habe jetzt diese formeln in folgende ungleichung gepackt:
(1700 * [mm] (1,045)^n [/mm] - 1700) / 0,045 > 40,5 [mm] n^2 [/mm] + 1759,5n (hab die formeln aufgelöst)
so, nun habe ich aber das problem, dass auf der einen seite ein hoch n steht und auf der anderen [mm] n^2 [/mm] und n. ich habe das ganze so lange umgestellt, bis ich am ende auf eine ungleichung der form
n / ln n > ln ....
nur wie kann ich jetzt weiter vorgehen? ich habe probleme das ganze dann nach n aufzulösen. hat es was mit dem newtonverfahren zu tun?
da muss ich ja dann eine ableitung bilden und diese null setzen, oder?
danke im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Sa 01.12.2007 | | Autor: | dieanne |
Hallo Conny,
bei a) machst du es einfach wieder mit dem Newtonschen Näherungsverfahren wie bei Aufgabe 2 letzte Woche. Du kommst dann auf gerundet 16 Jahre (gleich sind sie nach 15,652 Jahren, ich hab 3 Stellen gesichert, aber es war eh gefragt wann Frau S. mehr hat):
Formeln hab ich die Selben benutzt, die Ines dir schon geschickt hat.
Bei Aufgabe bei bin ich mir nicht sicher, weil es nach dem umstellen bei mir so aussieht:
[mm] 0=17*(1+i)^10-810*i^2-180*i-17
[/mm]
Das wird dummerweise nur für i=0 null und i=0 kann ja nicht sein.
Hat da jemand schon was anderes?
LG Anne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Tavaril |
welche aufgabe??
hab alles fertig gemacht und hatte auch eigentlich keine Probleme mit dem umstellen oder so...
könnt mich ja sonst montag ma anquatschen
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 01.12.2007 | | Autor: | dieanne |
Na bei Aufgabe 2 b). Da komme ich mit den selben Formeln wie du auf die Gleichung:
[mm] 0=17*(1+i)^{10}-810*i^2-180*i-17
[/mm]
Da kommst du, dann auf i=0, was ja Quatsch ist...
Montag ist ein bisschen spät, denn wir müssen Montag ja abgeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:16 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anne!
Neben $i \ = \ 0$ ergibt sich (im Positiven) noch eine weitere Lösung mit $i \ [mm] \approx [/mm] \ 0.076$ .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für eine rechnerische Lösung muss man wohl entweder den Term [mm] $(1+i)^{10}$ [/mm] ausmultiplizieren oder in der Gleichung $q \ := \ 1+i$ [mm] $\gdw$ [/mm] $i \ = \ q-1$ substituieren.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:12 So 02.12.2007 | | Autor: | dieanne |
Vielen Dank!
Ich hab mich ein bisschen dumm angestellt:
Dachte mir, dass es bei 6%-7% liegt und mache sowas eigentlich mit dem Newton. Hab nun also den Startwert gesucht und 6 bzw. 7 eingesetzt, statt 0,06 bzw. 0,07. Ich bin selber Schuld!
Danke für die Antwort.
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Hey Ane, kannst du vielleicht nochmal kurz erklären, wie das mit dem newtonverfahren war? weißt ja, wir hatten das in der schule nicht, und ehrlich gesagt hab ichs nicht mehr genau im kopf, wie das ging...
danke, conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 02.12.2007 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
also du nimmst die beiden Formeln und setzt sie gleich, dann fasst du zusammen, stellst nach null um und kommst bei 2 a) auf:
[mm] 0=3400*1,045^n-3,645*n^2-158,355*n-3400
[/mm]
Das ist ja eine Funktion in Abhängigkeit von n, die erste Ableitung ist: [mm] 3400*1,045^n*ln1,045-7,29*n-158,355
[/mm]
Beim Newtonverfahren suchst du dir einen Wert für n, hier z.B n=16, der die erste Gleichung hinreichend genau erfüllt (Startwert).
Nun rechnest du den nächsten Wert über die Formel aus (steht auch im TW):
n*=n-f(n)/f'(n)
Jetzt setzt du n* für n in die selbe Formel ein und immer so weiter bis dir dein Ergebnis genau genug ist. Es zählen alle Stellen nach dem Komma, die sich im nächsten n wiederholen als gesichert. (Ich hab es bis 15,652 gesichert, aber wir runden ja eh auf, denn es war ja nicht die Gleichheit gefragt).
Ich hoffe die Erklärung ist verständlich, wenn nicht erkläre ich es dir Montag nochmal.
Wie machst du jetzt Aufgabe 1?
LG Anne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 So 02.12.2007 | | Autor: | die_conny |
Hey Dankeschön!
Also Aufgabe eins habe ich jetzt so gemacht wie Ines, also mit der Formel, aber ich will sie nochmal fragen, wo genau die formel herkommt. habe aber nur die a bis jetzt, da komme ich darauf, dass bei 10 % das 2., bei 3 % das erste angebot besser ist.
die b hab ich bis jetzt noch nicht, hab sie nur umgeformt nach einem term mit i hoch 3, aber ab da hab ich dann auch aufgehört... marlen hat mir geschrieben, sie hat das schon, sie hat bei b 7,11 ca. gehabt. aber sie hat noch nicht geantwortet, welche formel sie genommen hat.
lg, conny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 So 02.12.2007 | | Autor: | Tavaril |
du musst darauf achten, dass es bei 1a darum geht, welches angebot für den Verkäufer besser ist, nicht für den Käufer. also ist das mit dem höheren Barwert (das erste im ersten fall, das zweite im zweiten fall) besser.
Bei 1b kommt man auf diese gleichung mit [mm] i^3 [/mm] und die soll null sein. ich habe da einfach abgeschätzt. man weiß ja aus 1a, dass der wert irgendwo zwischen drei und zehn prozent liegen muss.
dabei kommt man auch auf den von marlen angegebenen wert von 7,11%
Das könnte man aber sicher auch mit irgendso nem nullstellen bestimmungsverfahren machen wie newton oder regula falsi. da ich mit denen allerdings meistens mehr aufwand habe wenn ich eh schon weiß, wo der wert in etwa liegt, mache ich dann einfach meistens ne annäherung durch "ausprobieren" indem ich werte einsetzte und solange aneinander annähere, bis ich zum ergebniskomme.
dauert lange, wenn man noch ncihts weiß, aber wenn man den abschnitt schon kennt, kommt man so oft schneller zum ziel.
lg, Ines
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