richtungsableitung "="stetig? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{falls } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie alle (x,y) [mm] \in \IR^{2}, [/mm] in denen f stetig ist.
(b) Untersuchen Sie die Richtungsableitungen [mm] D_{v}f(0,0), [/mm] v [mm] \in \IR^{2} \backslash\{0\} [/mm] , auf Existenz und geben Sie falls möglich grad f (0,0) an.
(c) Ist f differenzierbar in (0,0)? |
Hallo,
1.mir wurde bei (a) geraten, dass man hier die Richtungsableitung bestimmen soll, um die Stetigkeit zu zeigen. Ich kann jedoch keinen klaren Zusammenhang zwischen der Richtungsableitung und der Stetigkeit sehen.
Warum ,also, impliziert die R-Ableitung die Stetigkeit von f?
2. wird die R-Ableitung an der Stelle (0,0) gebildet?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Es sei [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{falls } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie alle (x,y) [mm]\in \IR^{2},[/mm] in denen f stetig
> ist.
> (b) Untersuchen Sie die Richtungsableitungen [mm]D_{v}f(0,0),[/mm]
> v [mm]\in \IR^{2}\{0},[/mm] auf Existenz und geben Sie falls möglich
> grad f (0,0) an.
> (c) Ist f differenzierbar in (0,0)?
> Hallo,
>
> 1.mir wurde bei (a) geraten, dass man hier die
> Richtungsableitung bestimmen soll, um die Stetigkeit zu
> zeigen. Ich kann jedoch keinen klaren Zusammenhang zwischen
> der Richtungsableitung und der Stetigkeit sehen.
> Warum ,also, impliziert die R-Ableitung die Stetigkeit von
> f?
Tut sie nicht. Die Richtungsableitung hat gar nix mit der Stetigkeit zu tun.
> 2. wird die R-Ableitung an der Stelle (0,0) gebildet?
Bei b) und c) ja.
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in der Uni habe ich eine Assistentin gefragt, wie man die Stetigkeit zeigt. Ich habe sie noch gefragt, ob man hier die komponentenweise Stetigkeit zeigen soll. Sie hat gemeint, hier gibt es nur eine Komponente und das ist die Funktion selbst an den Stellen (x,y) [mm] \=not [/mm] (0,0).
Irgendwie ,letztendlich, habe ich das so interpretiert, dass man hier keine komponentenweise Stetigkeit zeigen soll, sondern die R-Ableitung, weil sie mir darüber am Ende erzählt hat. Hat sie vielleicht damit die Teilaufgaben (b) und (c) angesprochen.
Wie zeigt man hier am besten die Stetigkeit?
Dass die Funktion an allen Stellen [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0) stetig ist , ist klar. Jetzt muss man noch über die Stelle (0,0) argumentieren.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also mein Vorschlag wäre dieser...
Betrachte alle (x,y) für die [mm] \parallel (x,y)\parallel [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] gilt, also [mm] x=\wurzel{\epsilon-y^2}.
[/mm]
Das setzte in [mm] \bruch{x^2y}{x^2+y^2} [/mm] ein und bestimmst davon die Extrema. Du wirst sehen, dass diese von [mm] \epsilon [/mm] abhängig sind, also gegen Null gehen, wenn [mm] \epsilon [/mm] gegen Null geht.
Das kannste dann nutzen um zu zeigen, dass von jeder Folge, die gegen (0,0) konvergiert, die Funktionswerte ebenfalls gegen Null konvergieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
bei mir kommt [mm] x=\wurzel{ \varepsilon^{2}-y^{2}} [/mm] raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja, haste recht. Aber ich glaub nicht, dass das was am Ergebnis zum Schluss ändert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Igor!
Das stimmt nicht! Hast Du die Funktion [mm] $f_{\varepsilon}(y) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(\varepsilon-y^2\right)*y}{\left(\varepsilon-y^2\right)+y^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\varepsilon}\left(\varepsilon-y^2\right)*y$ [/mm] betrachtet und dessen Extremum berechnet?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich hatte mich n bissl verrechnet.... ich hab [mm]\parallel (x,y) \parallel[/mm] = [mm] \epsilon \gdw \wurzel{x^2+y^2} [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] zu [mm] x=\wurzel{\epsilon + y^2} [/mm] gemacht, aber [mm] x=\wurzel{\epsilon^2+y^2} [/mm] ist eigentlich richtig.
Er hat es gut erkannt - aber wie gesagt... am Ergebniss ändert es nix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Loddar !
[mm] \parallel [/mm] (x,y) [mm] \parallel=\varepsilon. [/mm] Ich bin davon ausgegangen, dass hier die Euklid-Norm gemeint wird.
[mm] \parallel [/mm] (x,y) [mm] \parallel= \wurzel{x^{2}+y^{2}}=\varepsilon, [/mm] daraus würde folgen : [mm] x=\wurzel{\varepsilon^{2}-y^{2}}
[/mm]
Als Extrema habe ich folgendes rausbekommen: [mm] y=\wurzel{\bruch{ \varepsilon }{3}}
[/mm]
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
Also ich hab da [mm] y=\wurzel{\bruch{\epsilon^2}{3}}. [/mm] Kann sein, dass ich mich wieder verrechnet hab aber ist ja im Endeffekt wurscht... es kommt dasselbe zum Schluss bei raus - es geht gegen Null für [mm] \epsilon [/mm] gegen Null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
ach ja , das Ergebnis ,das ich gepostet habe bezog sich auf den "Fehler".
Ich habe gleiches Ergebnis wie Du. Also, stimmt es...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Do 24.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Merle23,
im Grossen und Ganzen habe ich verstanden, worauf Du hinaus wolltest (Definition der Stetigkeit (Folgengrenzwerte, Funktionsgrenzwerte)).
Wenn man also y als eine Folge die gegen 0 geht und x als eine Folge (abhängig unter anderem von y), die gegen 0 geht, betrachtet, dann geht die Folge [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] auch gegen Null ( kann man hier anstatt [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 auch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] n gegen unendlich nehmen?Ich meine damit die Schreibweise [mm] \parallel(x,y)\parallel=\bruch{1}{n}). [/mm] Wenn man danach diese Folge in f einsetzt , muss der Funktionsgrenzwert von [mm] (x_{n},y_{n}) [/mm] mit dem Funktionswert an der Stelle (0,0) übereinstimmen.
Du hast geschrieben:" Das kannste dann nutzen......, dass von jeder Folge , die gegen (0,0) konvergiert,....."Sind mit der Definition [mm] \parallel(x,y)\parallel:=\bruch{1}{n} [/mm] alle möglichen Folgen abgedeckt(die gegen (0,0) konvergieren) , oder wie kann man zeigen, dass es für jede(!) Folge mit der Eigenschaft -"konvergiert gegen 0" die Funktionswerte auch konvergieren?
Warum hast Du die Extrema dabei benutzt? Dieser Zwischenschritt ist mir noch nicht so klar.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Do 24.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutze wirklich den Vorschlag von Fred. Der bewährt sich bei so gebrochen rationalen Funktionen sehr oft.
du musst dann nur zeigen, dass für r gegen 0 f gegen f(0,0) konvergiert UNABHÄNGIG von der Wahl von [mm] \phi, [/mm] was hier der Fall ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Do 24.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Merle,
bei Deinem Vorschlag ist x immer nichtnegativ, eine nicht zulässige Einschränkung !
Aber warum so umständlich ? Mit Polarkoordinaten ist es ganz einfach:
x=r cos(t), y=r sin(t), dann ist r die Norm von (x,y) und
f(x,y) = r (cos(t))² sin(t) --> 0 (r-->0)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 24.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo fred97,
ich konnte fast alles nachvollziehen.
Mir ist nicht so klar , warum man wissen muss , dass r eine Norm von (x,y) ist, und warum r eine Norm ist.
Was ich verstehe, ist, dass wenn r eine Norm ist, dann ist r eine Abbildung (r(x,y)?) mit den Normeigenschaften i,ii und iii(Dreiecksungleichung).
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 24.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die normale euklidische Norm oder Abstandsfunktion ist doch [mm] d((x,y),(0,0)=\wurzel{(x-0)^2+(y-0)^2}
[/mm]
und du brauchst das, weil doch Stetigkeit etwa bei 0,0 sagt: zu jedem [mm] \epsilon [/mm] existiert ein [mm] \delta [/mm] sodass aus [mm] d<\delta [/mm] folgt [mm] f(x,y)-f(0,0)<\epsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Do 24.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart,
ich habe eigentlich nicht die [mm] \varepsilon, \delta [/mm] - Stetigkeitdefinition verwendet, sondern die Folgen-/Funktionengrenzwerte betrachtet.
Braucht man da auch diese Norm?
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 24.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zu Teilaufgabe (b):ich habe versucht [mm] D_{v}f(0,0) [/mm] auszurechnen und als Ergebnis habe ich Richtungsableitung ist/sind gleich 0 für alle v [mm] \in \IR^{2}\{0}. [/mm] (Stimmt das ?)
Wie berechnet man grad f(0,0)? Direkt mit Hilfe der Definition von grad oder soll man den Satz:.......
[mm] D_{v}f(0,0)= [/mm] (mit der Bedingung f ist eine stetig differenzierbare Funktion (ist sie das ?)) beutzen?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 24.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie hast du denn die Richtungsableitungen berechnet? ich hab nicht 0 raus, verrechne mich aber auch mal!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 24.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
Meine Rechnung zu b) Richtungsableitung:
[mm] D_{v}f(0,0)=\limes_{t\rightarrow\ 0} \bruch{f(\vektor{tv_{1} \\ t{v_{2}}})}{t}=...= \bruch{t^{2}v_{1}^{2}*tv_{2}}{t^{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})} [/mm] -------- [mm] t^{2} [/mm] wegkürzen und für t gegen 0 geht Bruch gegen 0 für alle v
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 24.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Nenner fehlt ein t! du hast doch nut f(tv1,tv2) hingeschrieben!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
ja genau, wenn noch im Nenner t ist , dann habe ich als Ergebnis [mm] v1^2*v2/(v1^2+v2^2)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Sa 26.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja und du siehst jetzt hoffentlich dass das i.A. nicht 0 ist sondern von der Wahl von v1,v2 abhängt!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Igor1 |
ja, ich habe zuvor ohne t im Nenner gerechnet, deshalb kam ich damals auf 0 als Ergebnis. Jetzt ist es klar.
Wie berechnet man am besten grad ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 27.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Gegenfrage: was ist grad? und gibt es grad, wenn die Richtungsableitungen nicht stetig sind ?
Gruss leduart
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