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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - ringe, wieso x(x-y)=0?
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ringe, wieso x(x-y)=0?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Mo 01.07.2013
Autor: drossel

Hi,
wenn R ein Ring ist indem 0 das einzige nilpotente Element ist gilt, dass [mm] x^k(x-y)=0, [/mm] wieso folgt dann, dass x(x-y)=0 für ein [mm] k\in \mathbb{N}? [/mm]
Das ist keine Hausaufgabe, sondern ich hab es irgendwo gelesen und es geht mir nicht mehr aus dem Kopf.
Gruß

        
Bezug
ringe, wieso x(x-y)=0?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Mo 01.07.2013
Autor: hippias


> Hi,
> wenn R ein Ring ist indem 0 das einzige nilpotente Element
> ist gilt, dass [mm]x^k(x-y)=0,[/mm] wieso folgt dann, dass x(x-y)=0
> für ein [mm]k\in \mathbb{N}?[/mm]
>  Das ist keine Hausaufgabe,
> sondern ich hab es irgendwo gelesen und es geht mir nicht
> mehr aus dem Kopf.
>  Gruß

Es ist sehr schwierig Deine Formulierung zu verstehen, aber wenn ich es richtig begriffen habe, dann genuegt es [mm] $(x(x-y))^{k}$ [/mm] zu betrachten (Kommutativitaet vorausgesetzt).

Bezug
                
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ringe, wieso x(x-y)=0?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Mo 01.07.2013
Autor: drossel

Danke für die Antwort, willst du auf den binomsichen Lehrsatz hinaus?
entschuldigung. also: Sei R ein Ring, indem 0 das einzige nilpotente Element ist und [mm] x,y\in [/mm] R. sei k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und es gelte [mm] x^k(x-y)=0. [/mm] Daraus folgt x(x-y)=0.
ich hoffe, so ist es verständlicher hoffe ich.
Das ist leider auch das Problem, die Elemente müssen nicht invertierbar sein, der Ring ist nicht notwendigerweise kommutativ.
Deshalb habe ich keine Ahnung, wieso die Behauptung stimmt und wie ich sie beweisen soll, weil einfach so wenig gegeben ist.


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ringe, wieso x(x-y)=0?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mo 01.07.2013
Autor: hippias

Meine Verstaendnisschwierigkeiten ruehrten von fehlenden Satzzeichen, ueberfluessigen Worten, nachlasessigen Formulierungen etc. her. Ich denke oftmals: Wer so formuliert, wird auch niemals einen klaren Gedanken fassen -  aber das ist meine persoehnliche Meinung.

Den binomischen Lehrsatz brauchst Du nicht: Loese die - aeussere - Klammer auf in dem Term [mm] $(x(x-y))^{k}$ [/mm] und wende die Voraussetzungen an.

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ringe, wieso x(x-y)=0?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Di 02.07.2013
Autor: Micha

Hallo!
> Hi,
> wenn R ein Ring ist indem 0 das einzige nilpotente Element
> ist gilt, dass [mm]x^k(x-y)=0,[/mm] wieso folgt dann, dass x(x-y)=0
> für ein [mm]k\in \mathbb{N}?[/mm]

Versuche es mal mit einem Widerspruchsbeweis, dann ist es ganz leicht zu zeigen. Also nimm an, es gilt [mm]x*(x-y) \neq 0[/mm]. Dann unterscheidest du die Fälle [mm]x=0[/mm] und [mm]x\neq0[/mm]. Im zweiten Fall folgt der Widerspruch unmittelbar. Den ersten überlasse ich dir zur Übung.

Gruß Micha ;)

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