rotation < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 28.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | | Vollzylinder rollt aus der ruhe eine geneigte ebene hinab (in 10s). wie lange braucht eine hohlkugel mit gleicher masse und gleichem radius. (massenträgheitsmomente 0,5*m*r² für vollzylinder , 3/2*m*r² für hohlkugel ) |
wie kann ich das angehen? kein plan :)
danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Sa 28.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
also ich denke ich brauch winkelgeschwindigkeit und , beschleunigung.... aber wie bekomm ich das raus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Sa 28.07.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Bjoern,
prinzipiell wird hier potentielle Energie in Rotationsenergie umgesetzt. Die Idee ist, die Winkelbeschleunigung zu bestimmen, die auch die lineare Beschleunigung des Schwerpunktes ist, sonst würde der Zylinder ja gedehnt oder gestaucht, was hier ja nicht gelten soll.
Über das Drehmoment und mit Hilfe des Steinerschen Satzes kannst Du die Bewegungsgleichung aufstellen. Berücksichtigen muss man hierbei, dass sich der Zylinder auf seiner Mantellinie bewegt, und zu dem Trägheitsmoment um die Achse des Zylinders kommt nach dem Steinerschen Satz noch ein Term hinzu, in diesem Falle [mm] mr^2 [/mm].
Hat die Ebene die Steigung [mm] \alpha [/mm], so ist das Drehmoment [mm] m g r \sin \alpha [/mm] und diese Größe wird mit Hilfe des Trägheitsmomentes des Zylinders ausgedrückt. Das Trägheitsmoment ergibt sich in diesem Falle durch den Steinerschen Satz zu [mm] \bruch{3}{2} m r^2 [/mm].
So erhält man
$$ m g r [mm] \sin \alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] m [mm] r^2 \dot{\omega} [/mm] $$
wobei [mm] \omega [/mm] die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders, oder später auch der Kugel, ist.
Jetzt lässt sich die Beschleunigung am Umfang des Körpers berechnen mit [mm] a = r \dot{\omega} [/mm], das ist aber auch die lineare Beschleunigung des Schwerpunktes, wie ich oben schon bemerkte. Die Bewegungsgleichung lässt sich leicht nach [mm] \dot{\omega} [/mm] auflösen und mit r multiplizieren. Man bekommt daraus
$$ a = r [mm] \dot{\omega} [/mm] = [mm] \bruch{m g r^2 \sin \alpha}{\bruch{3}{2} m r^2} [/mm] $$ und nach Kürzen erhält man die Beschleunigung
$$ a = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] g [mm] \sin \alpha \, [/mm] . $$
Die gleiche Rechnung lässt sich für die Kugel durchführen. Der Faktor vor der Beschleunigung ändert sich von [mm] \bruch{2}{3} [/mm] auf [mm] \bruch{2}{5} [/mm], wenn ich mich nicht verechnet habe.
Jetzt, wo die Beschleunigung bekannt ist, ergibt sich der Rest durch die normalen Bewegungsgesetze. Die Beschleunigung der Hohlkugel ist kleiner als die des Zylinders, sie wird also länger brauchen für das Herabrollen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
