satz über polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich habe mal eine frage zu einem speziellen thema. ich lese gerade ein buch über linalg und ich möchte wirklich alles genau verstehen. ich bin jetzt bei der hälfte und habe ein kleines problem an einer kleinen stelle eines beweises.
hier der satz:
1.)Ist f [mm] \in [/mm] des Polynomrings [mm] \IR[/mm] [t] und a [mm] \in \IC [/mm] eine Nullstelle von f, so ist auch die konj. kompl. Zahl [mm] \overline{a} \in \IC [/mm] eine Nullstelle von f und 2.)es gilt [mm] m(f,a)=m(f,\overline{a})
[/mm]
dabei ist m(f,a):=max( r [mm] \in \IN [/mm] | f=(t-a)*g g [mm] \in \IR[/mm] [t] ) also die vielfachheit von a in f.
im beweis wird behauptet, dass es für 2.) genügt folgendes zu beweisen:
m(f,a) [mm] \ge [/mm] k => [mm] m(f,\overline{a}) \ge [/mm] k
mit k [mm] \in \IN
[/mm]
warum?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://f27.parsimony.net/forum67913/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mo 28.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
es genügt tatsächlich dieses aussage zu zeigen.
denn sei die von dir genannte aussage bewiesen und $m(f, a) =: n < [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm] (da ein polynom, welches nicht das konstante nullpolynom ist nur endlich viele nullstellen haben kann). es muss nun gezeigt werden, dass gilt $m(f, [mm] \overline{a}) [/mm] = n$. da $m(f, a) = n$, gilt bestimmt auch $m(f, a) [mm] \geq [/mm] n$ und mit der genannten aussage somit $m(f, [mm] \overline{a}) \geq [/mm] n$. angenommen $m(f, [mm] \overline{a}) \not= [/mm] n$, so muss gelten $m(f, [mm] \overline{a}) \geq [/mm] n + 1$. mit nochmaligem anwenden der aussage und der eigenschaft, dass [mm] $\overline{\overline{a}} [/mm] = a$ folgt dann aber $m(f, [mm] \overline{\overline{a}}) [/mm] = m(f, a) [mm] \geq [/mm] n + 1 > n$ ein widerspruch zur annahme $m(f, a) = n$.
hoffe, dass das verständlich ist, wenn nicht frage einfach nach!
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mo 28.02.2005 | | Autor: | calabi-yau |
ah stimmt, danke...
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