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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Fr 27.11.2009 | | Autor: | jullieta |
Hallo!
Muss zur folgenden gleichung den scheitelpunkt bestimmen,
es hagt da aber an der einen Stelle irgendwie:
[mm] y=4x^2-4ax+1
[/mm]
[mm] y=4*(x^2-ax-\bruch{1}{4})
[/mm]
[mm] y=4*(x^2-ax+(\bruch{1}{2})^2)+1-(\bruch{1}{2})^2)
[/mm]
[mm] y=4*(x-\bruch{1}{2})^2...
[/mm]
oder ist es bis hier hin so richtig?
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Hallo jullieta,
das sieht doch gar nicht schlecht aus.
Leider stimmt die Darstellung in unserem Formeleditor nicht, und dadurch wirkt es falsch.
Um den Exponenten bei Quadraten darzustellen, darfst Du nicht das ASCII-Zeichen für die hochgestellte 2 (²) verwenden. Exponenten werden hier wie folgt codiert: [mm] a^2=[/mm] a^{2}. Die geschweiften Klammern kannst Du auch weglassen, wenn der Exponent aus einem einzelnen Zeichen besteht. Bei [mm] a^{10} [/mm] oder [mm] a^{-1} [/mm] oder gar [mm] a^{x^2+6x-9} [/mm] sind sie aber nötig.
Jetzt zur Sache, ich habe die Exponenten mal korrigiert (und tu das auch gleich in Deiner Anfrage):
> Hallo!
>
> Muss zur folgenden gleichung den scheitelpunkt bestimmen,
> es hagt da aber an der einen Stelle irgendwie:
>
> [mm] y=4x^2-4ax+1
[/mm]
> [mm] y=4*\left(x^2-ax-\bruch{1}{4}\right)
[/mm]
> [mm] y=4*\left(x^2-ax+(\bruch{1}{2})^2\right)+1-\left(\bruch{1}{2}\right)^2)
[/mm]
> [mm] y=4*\left(x-\bruch{1}{2}\right)^2 \cdots
[/mm]
>
> oder ist es bis hier hin so richtig?
Nein, leider nicht. Du hast unterwegs den Parameter a verloren. Schau mal:
[mm] y=4x^2-4ax+1=4*\left(x^2-ax+\bruch{1}{4}\right)
[/mm]
Jetzt kommt die quadratische Ergänzung. Du tust sozusagen so, als wäre das lineare Glied (das also x, aber nicht [mm] x^2 [/mm] enthält) Teil einer binomischen Formel und ergänzt das absolute Glied (also eine Zahl - siehe aber unten!) und korrigierst dann, so dass die Gleichung weiterhin stimmt.
[mm] 4*\left(x^2-ax+\bruch{1}{4}\right)=4*\left(x^2-ax+\left(\bruch{a}{2}\right)^2-\left(\bruch{a}{2}\right)^2+\bruch{1}{4}\right)=4*\left(\left(x-\bruch{a}{2}\right)^2+\bruch{1-a^2}{4}\right)
[/mm]
Wie es ab hier weitergeht, hängt natürlich davon ab, was Du eigentlich erreichen willst. So könnte es z.B. darum gehen, Nullstellen (bzw. Lösungen) zu ermitteln, also den Ansatz y=0 zu verfolgen. Das geht sonst ja auch über die p,q-Formel oder die Mitternachtsformel, aber mit der quadratischen Ergänzung eben auch ohne. Mal weiter:
[mm] y=4*\left(\left(x-\bruch{a}{2}\right)^2+\bruch{1-a^2}{4}\right)=4*\left(\left(x-\bruch{a}{2}\right)^2-\bruch{a^2-1}{4}\right)=4*\left(x-\bruch{a}{2}+\bruch{\wurzel{a^2-1}}{2}\right)*\left(x-\bruch{a}{2}-\bruch{\wurzel{a^2-1}}{2}\right)=(2x-a+\wurzel{a^2-1})*(2x-a-\wurzel{a^2-1})
[/mm]
Verstehst Du das?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 28.11.2009 | | Autor: | jullieta |
ah ok.
Ich wollt nur auf den Scheitelpunkt kommen.
Nach dem Schritt:
y= 4*(x- [mm] \bruch{a}{2})^{2}+ \bruch{1-a^{2}}{4}
[/mm]
kommt dann jetzt: ?
y= 4*(x- [mm] \bruch{a}{2})^{2}+ \bruch{4-4a^{2}}{4}
[/mm]
y= 4*(x- [mm] \bruch{a}{2})^{2}+ 4a^{2}
[/mm]
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Hallo jullieta,
> ah ok.
>
> Ich wollt nur auf den Scheitelpunkt kommen.
ach sooo...
> Nach dem Schritt:
>
> y= 4*(x- [mm]\bruch{a}{2})^{2}+ \bruch{1-a^{2}}{4}[/mm]
>
> kommt dann jetzt: ?
>
> y= 4*(x- [mm]\bruch{a}{2})^{2}+ \bruch{4-4a^{2}}{4}[/mm]
>
> y= 4*(x- [mm]\bruch{a}{2})^{2}+ 4a^{2}[/mm]
Nein - das sind doch beides keine gültigen Umformungen.
Außerdem lautete der zitierte Schritt
[mm] 4\cdot{}\red{\left(}\left(x-\bruch{a}{2}\right)^2+\bruch{1-a^2}{4}\red{\right)}
[/mm]
Zur Scheitelpunktsform kommst Du, indem Du die 4 vorne jetzt in die Klammer multiplizierst: [mm] 4*\left(x-\bruch{a}{2}\right)^2+1-a^2
[/mm]
Der Scheitelpunkt liegt dann bei [mm] \left(\bruch{a}{2};1-a^2\right)
[/mm]
lg
reverend
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