schiefe Ebene/Feder, Schwingun < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 02.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1.0 Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] = 20° wird ein Wagen der Masse m = 0,10 kg an eine Feder mit der Federkonstanten D angehängt. Dabei dehnt sich die parallel zur schiefen Ebene liegende Feder um [mm] \Delta [/mm] l = 5,0 cm. Reibung wird nicht berücksichtigt.
1.1 Berechnen Sie die Federkonstante D und die in der Feder gespeicherte Energie. (Teilergebnis: D = 6,7 [mm] \bruch{N}{m}
[/mm]
1.2.0 Nun wird der Wagen um weitere 4,0 cm nach unten gezogen und dann zum Zeitpunkt [mm] t_0 [/mm] = 0 s losgelassen. Die Schwingungsrichtung nach oben ist positiv.
1.2.1 Zeigen Sie, dass diese Schwingung harmonisch ist.
1.2.2 Berechnen Sie die Schwingungsdauer T des Systems. (Ergebnis: T = 0,77 s)
1.2.3 Geben Sie die Funktionsgleichung der Elongation in Abhängigkeit von der Zeit mit eingesetzten Werten an.
1.2.4 Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Wagens nach Betrag und Richtung, zum Zeitpunkt [mm] t_1 [/mm] = [mm] \bruch{T}{4}.
[/mm]
1.2.5 Ermitteln Sie den Zeitpunkt, bei dem der Wagen erstmals die Elongation -2,0 cm hat. |
Hallo Zusammen,
ich habe eine Skizze angefertigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
müsste so stimmen
1.1
Die Federkonstante ist so definiert: F = D [mm] \cdot{} \Delta [/mm] l -> D = [mm] \bruch{F}{\Delta l}
[/mm]
Es wirkt noch eine weitere Kraft nach unten und zwar die Hangabtriebkraft F = m [mm] \cdot{} [/mm] g [mm] \cdot{} [/mm] sin [mm] \alpha
[/mm]
Somit ergibt sich für D = [mm] \bruch{m \cdot{} g \cdot{} sin \alpha}{\Delta l} [/mm] = [mm] \bruch{0,10 kg \cdot{} 9,81 m \cdot{} sin 20°}{s² \cdot{} 0,05 m} [/mm] = 6,7 [mm] \bruch{N}{m}.
[/mm]
W_Sp = [mm] \bruch{1}{2}D \cdot{} \Delta [/mm] l = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] 6,7 [mm] \bruch{N}{m} \cdot{} [/mm] (0,05 m)² = 8,4 mJ
1.2.1
Ich habe leider keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Für einen Tipp wäre ich dankbar.
1.2.2
Im Endeffekt handelt es sich um ein Federpendel das an eine schiefen Ebene befestigt ist und am unteren Ende hängt ein Wagen. Somit kann man T folgendermaßen berechnen:
T = [mm] 2\pi \wurzel{\bruch{m}{D}} [/mm] = [mm] 2\pi \wurzel{\bruch{0,1kg \cdot{} m}{6,7 N}} [/mm] = 0,767 s = 0,77 s
1.2.3
also s(t) = [mm] s_0 \cdot{} [/mm] sin [mm] (\omega \cdot{} [/mm] t)
Somit benötige ich noch die maximale Auslenkung der Feder [mm] s_0 [/mm] und die Winkelfrequenz:
[mm] \omega [/mm] = [mm] 2\pi \cdot{} [/mm] f; T = [mm] \bruch{1}{f} [/mm] -> [mm] 2\pi \cdot{} \bruch{1}{T} [/mm] = [mm] 2\pi \cdot{} \bruch{1}{0,77 s} [/mm] = 8,16 [mm] \bruch{1}{s} \approx [/mm] 8,2 [mm] \bruch{1}{s}
[/mm]
Die maximale Auslenkung ist doch eigentlich [mm] \Delta [/mm] l, die maximale Stauchung. F = D [mm] \cdot{} \Delta [/mm] l -> [mm] \Delta [/mm] l = [mm] \bruch{m \cdot{} g \cdot{} sin \alpha}{6,7 N/m} [/mm] = 0,073 m = 7,3 cm.
Würde dies stimmen?
Aus den Ergebnissen folgt: s(t) = 7,3 cm [mm] \cdot{} [/mm] sin (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t), stimmt das?
1.2.4
v(t) = [mm] s_0 \cdot{} \omega \cdot{} [/mm] cos [mm] (\omega \cdot{} [/mm] t)
v(t) = 7,3 cm [mm] \cdot{} [/mm] 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] cos (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t)
v(0,19s) = 7,3 cm [mm] \cdot{} [/mm] 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] cos (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] 0,19s) = 0,0076 [mm] \bruch{m}{s}
[/mm]
Als Ergebnis soll 0,33 [mm] \bruch{m}{s} [/mm] rauskommen? Außerdem wird in der Lösung die maximale Geschwindigkeit berechnet. Laut Aufgabenstellung soll doch die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [mm] t_1 [/mm] = [mm] \bruch{T}{4} [/mm] = [mm] \bruch{0,77 s}{4} [/mm] = 0,19 s berechnet werden. Oder verstehe ich das was falsch?
3.2.5
s = [mm] s_0 \cdot{} [/mm] sin [mm] (\omega \cdot{} [/mm] t)
-2,0 cm = 7,3 cm [mm] \cdot{} [/mm] sin (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t)
-0,27 = sin (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t) -> 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t = -0,27; t = -0,033 s
In der Lösung steht t = 0,13 s. Wo liegt der Fehler? Ich finde ihn nicht.
Vielen Dank im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
könnte es sich bitte jemand anschauen, es wäre sehr wichtig. Vielen Dank, itse.
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Hallo!
Das sieht eigentlich alles gut aus.
Warum du falsche Werte bekommst:
Man zieht den Wagen aus seiner Ruhelage, und läst dann los. Die Zeit beginnt mit dem Loslassen, also auch zu einem Zeitpunkt maximaler Auslenkung. Von daher solltest du in s(t) den COS einsetzen, und in v(t) den SIN.
Dann ist auch v(T/4) gleich der max. Geschwindigkeit.
Daß das eine harmonische Schwingung ist zeigst du, indem du mal hin schreibst, wie die Kräfte entlang der Bewegungsrichtung abhängig von der Auslenkung sind. So zwischen den Zeilen liest man ja schon, daß diese abhängigkeit linear ist, und das heißt auch, daß du ne harmonische Schwingung bekommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Daß das eine harmonische Schwingung ist zeigst du, indem du
> mal hin schreibst, wie die Kräfte entlang der
> Bewegungsrichtung abhängig von der Auslenkung sind. So
> zwischen den Zeilen liest man ja schon, daß diese
> abhängigkeit linear ist, und das heißt auch, daß du ne
> harmonische Schwingung bekommst.
Ich hab mal wieder eine Skizze gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Somit wirkt längs der Feder die Hangabtriebskraft und die rücktreibende Kraft der Feder. Die Gewichtskraft kann vernachlässigt werden.
also:
[mm] F_R [/mm] ~ [mm] F_H
[/mm]
-D [mm] \cdot{} \Delta [/mm] l ~ m [mm] \cdot{} [/mm] g [mm] \cdot{} [/mm] sin [mm] \alpha
[/mm]
In der Nulllage ist die Hangabtriebskraft gleich der rücktreibenden Kraft, denn der Wagen bewegt sich weder nach oben noch nach unten.
m [mm] \cdot{} [/mm] g [mm] \cdot{} [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] = -D [mm] \cdot{} \Delta [/mm] l
Nun kommt zur Auslenkung noch eine äußere Kraft (F = m [mm] \cdot{} [/mm] a), die das Gleichgewicht aus der Ruhe bringt:
-D [mm] \cdot{} \Delta [/mm] l < m [mm] \cdot{} [/mm] g [mm] \cdot{} [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] + m [mm] \cdot{} [/mm] a
Ich hoffe das es soweit stimmt, nur wie geht es weiter?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
> 1.2.3
>
> also s(t) = [mm]s_0 \cdot{}[/mm] sin [mm](\omega \cdot{}[/mm] t)
>
> Somit benötige ich noch die maximale Auslenkung der Feder
> [mm]s_0[/mm] und die Winkelfrequenz:
>
> [mm]\omega[/mm] = [mm]2\pi \cdot{}[/mm] f; T = [mm]\bruch{1}{f}[/mm] -> [mm]2\pi \cdot{} \bruch{1}{T}[/mm]
> = [mm]2\pi \cdot{} \bruch{1}{0,77 s}[/mm] = 8,16 [mm]\bruch{1}{s} \approx[/mm]
> 8,2 [mm]\bruch{1}{s}[/mm]
>
> Die maximale Auslenkung ist doch eigentlich [mm]\Delta[/mm] l, die
> maximale Stauchung. F = D [mm]\cdot{} \Delta[/mm] l -> [mm]\Delta[/mm] l =
> [mm]\bruch{m \cdot{} g \cdot{} sin \alpha}{6,7 N/m}[/mm] = 0,073 m =
> 7,3 cm.
Ich hab nun die Lösung des Ganzen und als maximale Auslenkung sind 4,0 cm angegeben. Die Feder ist in Ruhe, nun wird der Wagen angehängt und diese dehnt sich um 5 cm, nur wird durch äußere Krafteinwirkung die Feder um weitere 4 cm gedehnt, somit müsste doch die maximale Auslenkung bei 9 cm liegen? Was verstehe ich da falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
kann geschlossen werden, die Ruhelage ist ja, wenn der Wagen schon dranhängt, somit werden die 5 cm nicht mehr berücksichtigt und es bleiben die 4 cm maximale Auslenkung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
> 1.2.5
>
> s = [mm]s_0 \cdot{}[/mm] sin [mm](\omega \cdot{}[/mm] t)
>
> -2,0 cm = 7,3 cm [mm]\cdot{}[/mm] sin (8,2 [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t)
>
> -0,27 = sin (8,2 [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t) -> 8,2
> [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t = -0,27; t = -0,033 s
>
> In der Lösung steht t = 0,13 s. Wo liegt der Fehler? Ich
> finde ihn nicht.
Ich rechne nun mal mit [mm] s_0 [/mm] = 4 cm, warum eigentlich sin?, zu dem Zeitpunkt t wenn die Auslenkung -2,0 cm beträgt, somit ist die Geschwindigkeit nicht null, sonst würde sich der Wagen nicht bewegen.
-2,0 cm = 4,0 cm [mm]\cdot{}[/mm] sin (8,2 [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t)
-0,5 cm = sin (8,2 [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t)
dann auf rad umstellen und den sin(-0,5) berechnen, dies ergibt -0,52
-0,52 = 8,2 [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t
t = [mm] \bruch{-0,52 \cdot{} s}{8,2} [/mm] = -0,06 s
Was stimmt da nicht? Vielen Dank nochmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mo 03.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Das ist ne Harmonische Schwingung um die Ruhelage, weil die Kraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist.
Diese Kraft hat dann nichts mehr mit der Hangabtriebskraft zu tun, denn die ist ja schon in der Ruhelage duirch die Auslenkung der Feder kompensiert.
Also von der Ruhelage ausgehend da s=0 gesetzt, s nach unten negativ, gilt F=-D*s
also m*a=-D*s oder s''(t)=-D/m*s(t) und damit ne harmonische Schwingung.
Die maximale Auslenkung aus der Ruhelage ist 4cm und bei t=0 also -4cm [mm] s(t)=-4cm*cos(\omega*t) [/mm] daraus mit s' dann [mm] v(t)=+4cm*\omega*sin(\omega*t)
[/mm]
da t=T/4 einsetzen,also v=0,04*8.2m/s
und entsprechend für s=-0.02m jetzt in die richtige Gleichung einsetzen.
Gruss leduart
Ps. ich stell alle Fragen auf beantwortet, wenn neue auftauchen bitte immer nur eine, Ergänzungen dazu als Mitteilung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Leduart,
dann habe ich nur noch dazu eine Frage:
1.2.5 Ermitteln Sie den Zeitpunkt, bei dem der Wagen erstmals die Elongation -2,0 cm hat.
folgende Werte sind gegeben oder aus vorherigen Aufgaben berechnet worden:
geg.: s=-2,0cm, [mm] s_0 [/mm] = 4,0 cm, [mm] \omega [/mm] = 8,2 [mm] \bruch{1}{s}
[/mm]
ges.: -2,0 cm(t)
s = [mm] s_0 \cdot{} [/mm] sin [mm] (\omega \cdot{} [/mm] t)
-2,0 cm = 4,0 cm sin ( 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t)
Was noch angegeben ist, dass die Schwingungsrichtung nach oben positiv ist. Also schwingt der Wagen nach unten. Warum die Winkelfunktion sin?
weiter mit der Rechnung:
-0,5 = sin ( 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t)
der Sinus von 30° sind [mm] \bruch{\pi}{6}, [/mm] also
[mm] -\bruch{\pi}{6} [/mm] = 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t
-> t = [mm] -\bruch{\pi \cdot{} s}{6 \cdot{} 8,2} [/mm] = -0,006 s
Es soll aber t = 0,13 s rauskommen. Wo liegt da der Fehler?
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 03.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Diesmal versteh ich deine Frage nicht.
nach oben positiv, Anfangsauslenkung also negativ, -4cm
damit s=-0.04m*cos [mm] 8.2s^{-1}*t
[/mm]
-0.02m=-0.04m*cos [mm] 8.2s^{-1}*t
[/mm]
Warum nimmast du das was ich geschrieben hab nicht auf?
Dein post verwendet ohne Diskussion wieder den sin für s usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Diesmal versteh ich deine Frage nicht.
> nach oben positiv, Anfangsauslenkung also negativ, -4cm
okay, den cos nimmt man wegen der maximalen Auslenkung von -4cm, oder? Also man schaut immer nur was bei t = 0 s los ist, in diesem Fall ist s(t) maximal also den cos und v(t) ist null somit den sin. Und dies gilt dann für jede weitere Rechnung, so wie bei dieser Teilaufgabe?
> damit s=-0.04m*cos [mm]8.2s^{-1}*t[/mm]
> -0.02m=-0.04m*cos [mm]8.2s^{-1}*t[/mm]
0,5 = cos (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t)
der [mm] cos^{-1} [/mm] von 0,5 ergibt 60°, also wieder [mm] \bruch{\pi}{6}, [/mm] oder ist das falsch ?
[mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] = 8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t -> t = [mm] \bruch{\pi}{6 \cdot{} 8,2} [/mm] = 0,06 s
Und das stimmt nicht, die Lösung soll 0,13 s sein. Was muss ich hier noch tun?
> Warum nimmast du das was ich geschrieben hab nicht auf?
> Dein post verwendet ohne Diskussion wieder den sin für s
> usw.
Hab ich überlesen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
[mm] $\cos^{-1}(0.5)=\pi/3$ [/mm] und nicht [mm] $\pi/6$.
[/mm]
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
In der Lösung steht:
-2,0 cm = 4,0 cm sin (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t - [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
Woher kommt das [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und die benutzen den sin, auch bei
1.2.3 Geben Sie die Funktionsgleichung der Elongation in Abhängigkeit von der Zeit mit eingesetzten Werten an.
Lös.: s(t) = 4,0 cm sin (8,2 [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] t - [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
Warum denn?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
stell doch bitte, wenn du eine neue Frage hast, auch eine neue Frage.
Nehmen wir mal an, du hast $f(x):=x$ gegeben. Wenn du dann $g(x):=x-5$ dagegen hälst, dann weist du doch sicher, dass der Graph dann um 5 Einheiten nach rechts verschoben ist? Jetzt ist in deinem Fall eine Verschiebung des Sinus um [mm] $\pi/2$ [/mm] nach rechts drin. Wenn du die Sinuskurve um [mm] $\pi/2$ [/mm] nach rechts verschiebst, was passiert dann? Zeichne es dir auf. Dann verstehst du auch, warum in der Lösung ein +4.0 vorne steht und kein -4.0, was wir ja bei der Cosinus Lösung hatten.
Guck dir auch mal allgemein die Sinus-Kurve an, verschieb die um [mm] $\pi/2$ [/mm] nach links, und stelle dann fest, welche Kurve das dann ist.
LG
Kroni
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 03.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Also man schaut immer nur was bei t = 0 s los
> ist, in diesem Fall ist s(t) maximal also den cos und v(t)
> ist null somit den sin. Und dies gilt dann für jede weitere
> Rechnung, so wie bei dieser Teilaufgabe?
Nur um sicher zu gehen, stimmt meine obengenannte Annahme?
Wegen der Lösung die angegeben ist: -2,0 cm = 4,0 cm sin (8,2 $ [mm] \bruch{1}{s} \cdot{} [/mm] $ t - $ [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] $
Die Sinus-Funktion wird benutzt, um daraus die Cosinus-Funktion zu erhalten - $ [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] $, Phasenverschiebung. Das Einzige was ich noch nicht verstehe ist, warum 4,0 cm und nicht -4,0 cm?
Viele Grüße
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kroni |
> Hallo Zusammen,
>
> > Also man schaut immer nur was bei t = 0 s los
> > ist,
Hi,
das ist sehr gut. So macht man das auch.
> in diesem Fall ist s(t) maximal
Du meinst das richtige. Du meinst, dass $s(t=0)$ maximal ist, deshalb nutzt man dann den Cosinus.
> also den cos und v(t)
> > ist null somit den sin.
Ja, aber das ergibt sich automatisch, denn die Geschwindigkeit ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes, und da $cos'(x)=-sin(x)$ gilt, hast du da automatisch den Sinus stehen.
>Und dies gilt dann für jede weitere
> > Rechnung, so wie bei dieser Teilaufgabe?
Ja.
>
> Nur um sicher zu gehen, stimmt meine obengenannte Annahme?
Ja.
>
>
> Wegen der Lösung die angegeben ist: -2,0 cm = 4,0 cm sin
> (8,2 [mm]\bruch{1}{s} \cdot{}[/mm] t - [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Die Sinus-Funktion wird benutzt, um daraus die
> Cosinus-Funktion zu erhalten - [mm]\bruch{\pi}{2}) [/mm],
> Phasenverschiebung. Das Einzige was ich noch nicht verstehe
> ist, warum 4,0 cm und nicht -4,0 cm?
Jetzt musst du dir die Richtung der Verschiebung angucken, da da doch [mm] $-\pi/2$ [/mm] steht, bekommst du eine Phasenverschiebung nach rechts, und daher ist dann zum Zeitpunkt t=0 [mm] $\sin(-\pi/2)=-1$, [/mm] deshalb brauchst du als Vorfaktor die +4.0, denn würdest du -4.0 schrieben, wäre deine Masse zum Zeitpunkt t=0 am Ort +4.0cm
LG
Kroni
>
> Viele Grüße
> itse
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