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| Aufgabe | Eine Matrix A [mm] \in M_n(\IR) [/mm] heißt schiefsymmetrisch, falls gilt: [mm] a_i_j=-a_i_j \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n.
Geben Sie für n gerade eine schiefsymmetrische Matrix in [mm] GL_n(\IR) [/mm] an. |
Also ich soll das für n=2k [mm] k\in \IN\setminus\{0\} [/mm] allgemein für alle schiefsymmetrtischen Matrizen zeigen! Wie mache ich das? Vielleicht per Induktion über k???oder gehts vielleicht noch anderes/einfacher????Hoffe jemand von euch kann mir schnell helfen!!! Viele Grüße, der mathe_depp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallöle mathedepp_No.1!
> Eine Matrix A [mm]\in M_n(\IR)[/mm] heißt schiefsymmetrisch, falls
> gilt: [mm]a_i_j=-a_i_j \forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i,j [mm]\le[/mm] n.
> Geben Sie für n gerade eine schiefsymmetrische Matrix in
> [mm]GL_n(\IR)[/mm] an.
> Also ich soll das für n=2k [mm]k\in \IN\setminus\{0\}[/mm]
> allgemein für alle schiefsymmetrtischen Matrizen zeigen!
> Wie mache ich das? Vielleicht per Induktion über k???oder
> gehts vielleicht noch anderes/einfacher????Hoffe jemand von
> euch kann mir schnell helfen!!! Viele Grüße, der
> mathe_depp
Was willst du denn hier mit Induktion? Du musst doch nicht einmal etwas beweisen!?
Eine schiefsymmetrische Matrix wäre doch z. B.
[mm] \pmat{0&1\\-1&0}
[/mm]
denn es gilt:
[mm] a_{11}=0=-a_{11} [/mm]
[mm] a_{12}=1=-(-1)=-a_{21}
[/mm]
[mm] a_{22}=0=-a_{22}
[/mm]
[mm] a_{21}=-1=-a_{12}
[/mm]
Eine allgemeine schiefsymmetrische Matrix, ein weiteres Beispiel und eine etwas anders formulierte Definition findest du ![[]](/images/popup.gif) hier (ziemlich weit unten).
Viele lustige Grüße aus der Villa Kunterbunt wünscht
Pippi Langstrumpf
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Hallo Pippie Langstrumpf,
erstmal vielen herzlichen Dank, dass Du Dich so schnell gemeldet hast. Hab Mir deine Vorschläge mal zu Herzen genommen, recht hsat du ja, aber gibt es wirklich keine Möglichkeit zu zeiegen dass für n=2k alle schiefsymmetrischen Matriten in der [mm] Gl_n\{\IR\} [/mm] liegen, spich Die determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist, bzw. invertierbar ist?????? Die Frage stelle ich ebenfalls an alle anderen Interessenten, die mir weiterhelfen können!!!!!!
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> aber gibt es wirklich keine
> Möglichkeit zu zeiegen dass für n=2k alle
> schiefsymmetrischen Matriten in der [mm]Gl_n\{\IR\}[/mm] liegen,
> spich Die determinante [mm]\not=[/mm] 0 ist, bzw. invertierbar
> ist??????
Hallo,
nee, da gibt's keine Möglichkeit. Weil's nämlich nicht stimmt, daß für n=2k alle schiefsymmetrischen Matrizen invertierbar sind: nimm die Nullmatrix...
Aber danach ist ja auch gar nicht gefragt. Die Aufgabe ist ja nur, für n=2k solch eine invertierbare, schiefsymmetrische matrix anzugeben.
Da hat Pippi-Langstrumpf ja schon für n=2 eine Vorlage geliefert.
Erweitern wir diese auf n=4:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das kannst Du fortsetzen für n=2k: auf der oberen Hälfte der Nebendiagonalen 1, auf der unteren -1, sonst Nullen.
Den Beweis dafür, daß die det [mm] \not=0 [/mm] ist, kannst Du mit Induktion und dem Laplaceschen Entwicklungssatz führen - Glücklicherweise hat man ja viele Nullen.
Gruß v. Angela
Die Frage stelle ich ebenfalls an alle anderen
> Interessenten, die mir weiterhelfen können!!!!!!
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Hallo Angela,
wie sähe denn eine solche Induktion auch???
Der Induktionanfang ist mir klar, der steht ja schon oben und erfüllt die eigenschaften!!!!Aber beim Indutionsschritt da komm ich schon ins stocken!!!!Wärst du vielleicht so nett und würdest mir da helfen????Wie mach ich das am besten? viele grüße!! mathedepp
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Hallo mathedepp,
du kannst es auch einfacher haben: Rechne nach, dass die Inverse von [mm] $S:=\pmat{0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0}$ [/mm] gerade $-S$ ist!
Gruß, banachella
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hallo banachella,
ja das wäre natürlich die einfachste methode!!! Aber ich würde es lieber allgemeiner machen, per induktion, mein prof hat da auch irgendwas von gesagt, von wegen per induktion verallgemeinern!!!!
Hoffe jemand kann mir da helfen den treffenden Induktionsschritt zu machen! Viele Grüße, mathedepp
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> Hoffe jemand kann mir da helfen den treffenden
> Induktionsschritt zu machen! Viele Grüße, mathedepp
Sei [mm] S_{2k}\in M_{2k}(\IR) [/mm] eine schiefsymmetrische Matrix der beschriebenen Art,
also auf der oberen Hälfte der Nebendiagonalen jeweils die 1, auf der unteren die -1, sonst überall Null.
Beh.: [mm] det(S_{2k})=...
[/mm]
Bew. über Induktion:
Induktionsanfang:...
Induktionsvoraussetzung:...
Induktionsschluß:
Beh.: Gilt die I.V., so ist [mm] det(S_{2(k+1)})=... [/mm]
Bew.:
Es ist
[mm] det(S_{2(k+1)})=(-1)^{2(k+1)+1} det\pmat{ 0 & & & & \\ 0 & & & & \\ 0 & & S_{2k} & & \\ \vdots & & & & \\ -1 & 0 & 0 & ... & 0 } [/mm] (Laplace-Entwicklung nach der 1.Zeile)
[mm] =(-1)^{2(k+1)+1}(-1)^{(2k+1)+1)}(-1)det(S_{2k}) [/mm] (Laplace-Entwicklung nach der 1.Spalte)
=...
Gruß v. Angela
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Vielen Dank !!!Durch deine Hilfe habe ich es jetzt endlich geschafft!!!!Und habe es vollständig verstanden!!!!Danke!!!!
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