schnittgerade zwischen ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 09.11.2008 | | Autor: | mayy |
| Aufgabe | Die ebene e1 anthält die punkte A(3/3/5), B(-1/-1/1) und c(2/2/-1). die Geade g: [mm] \vec{x}=\vektor{-1 \\ -3\\ -1} [/mm] +r [mm] \vektor{3 \\ 5\\2}, [/mm] r E R; und der Punkt D(6/-2/1) liegen in der Ebene E2.
ermitteln sie jeweils eine Kooridantenglg. der ebenen e1 und e2. bestimmen sie eine Gleichung der schnittgeraden und den schnittwinkel dieser ebenen.
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wie berechne ich die schnittgerade?
einen Lösunsweg zu den anderen teilaufgaben habe ich bereits. ich habe auch einen ansatz für die schnittgerade. allerdings bin ich ganz neu hier und weiß nicht wo ich diesen eingeben soll. kann mir das bitte jemand sagen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mayy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> einen Lösunsweg zu den anderen teilaufgaben habe ich
> bereits. ich habe auch einen ansatz für die schnittgerade.
> allerdings bin ich ganz neu hier und weiß nicht wo ich
> diesen eingeben soll. kann mir das bitte jemand sagen?
Genau hier an dieser Stelle posten ...
Am einfachsten ist es wohl, eine der beioden Ebenengleichung in Parameterform in die andere Ebenengleichung in Normalenform einzusetzen und dann nach einem der beiden Parameter umzustellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:17 Mo 10.11.2008 | | Autor: | mayy |
was ich bis jetzt gemacht habe ist, dass ich die beiden geraden in parameterform gleichgesetzt habe. diese gleichung hab ich dann nach s,t und r in abhängigkeit von u aufgelöst. die daraus erhaltenen parameter hab ich wiederum in die parameterform eingesetzt und nach x1, x2 und x3 aufgelöst. dann habe ich einen punkt erhalten, welcher auf der schnittgeraden liegt, also den stützpunkt der geraden. jetzt brauch ich noch den richtungsvektor. der muss eigentlich im skalar produkt mit dem normalen vektor der ebene null ergeben. (die beiden ebenen stehen orthogonal zueinander). aber ich kann eine gleichung mit drei unbekannten doch nicht lösen.
ist mein ansatz soweit richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mayy!
Prinzipiell klingt das ganz gut, was Du schreibst.
Nun rechne doch mal konkret mit den genannten Werten und poste das hier zur Kontrolle.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 10.11.2008 | | Autor: | mayy |
ok jetzt kommt das ganze mal mit zahlen:
E1: [mm] \vec{x}=\vektor{3\\ 5\\5}+s\vektor{1\\ 6\\6}+t\vektor{4\\4\\4}
[/mm]
oder E1: -20x1+20x2=0
E2: [mm] \vektor{x}=\vektor{-1\\-3\\-1}+s\vektor{3\\5\\2}+t\vektor{-7\\-1\\-2}
[/mm]
oder E1: -8x1-8x2+32x3=0
Das hab ich aus den gegebenen punkten und der geraden berechnet.
Dann bestimme ich den Schnittwinkel:
[mm] cos\alpha=/n1*n2/ [/mm] : /n1/*/n2/ (------> // betrag)
da n1*n2 = 0 ist der [mm] cos\alpha=0=90\circ
[/mm]
---> [mm] E1\perp [/mm] E2
Stimmt das soweit?
Jetzt die Schnittgerade:
[mm] \vektor{3\\ 3\\5}+s\vektor{1 \\ 1\\6}+t\vektor{4\\ 4\\4}=\vektor{-1 \\ -3\\-1}+r\vektor{3 \\ 5\\2}+u\vektor{-7\\ -1\\-2}
[/mm]
-> [mm] \pmat{ 1 & 4 & 3 & -7 & -4 \\ 1 & 4 & 5 & -1 & -6 \\ 6 & 4 & 2 & -2 & -6 }
[/mm]
-> [mm] \pmat{ s= -0,6 - 1,6u \\ t=-0,1+4,4u \\ r=1-3u }
[/mm]
s,t,r in abhängigkeit von u einsetzzen:
daraus bekomme ich drei gleichungen
gleichung 1: 3+1(-0,6+1,6u)+4(-0,1-4,4u)=-1+3(1-3u)-7u
2-16u=2-16u
gleichung 2: ist gleich wie gleichung 1
gleichung 3: 5+6(-0,6+1,6u)+4(-0,1-4,4u)=-1+2(1-3u)-2u
1-8u=1-8u
daraus folgt: [mm] u\in\IR\setminus0
[/mm]
wähle: u=1
dann sind
s=1
t=-4,5
r=-2
u=1
s,t,r,u in E1 und E2 einsetzen:
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+\vektor{1 \\ 1 \\ 6}- [/mm] 4,5 [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 4}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
diesen Punkt [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] erhalte ich auch, wenn ich die gleichung der zweiten ebene löse. Der punkt ist dann der Stützpunkt meiner geraden oder?
der Richtungsvektor der geraden g ist orthogonal zum normalenvektor der ebenen. d.h. [mm] \vec{d}*\vec{n1}=0
[/mm]
hier beginnt dann mein eigentliches Problem:
weil ich die gleichung
[mm] \vektor{d1\\d2\\d3}*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}=0 [/mm] nicht lösen kann.
weißt du / wissen Sie wie man das macht, oder ist das was ich bis hierhin gemacht habe falsch???
Danke für Ihre/Deine mühe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 10.11.2008 | | Autor: | weduwe |
ich fürchte du hast dich da verrechnet.
ich habe
[mm] E_1:x_1-x_2=0
[/mm]
[mm] E_2: x_1+x_2-4x_3=0
[/mm]
und daraus kannst du einfach die schnittgerade berechnen, indem du
[mm] x_1=x_2=4t [/mm] setzt, aus [mm] E_2 [/mm] bekommst du damit [mm] x_3 [/mm] und nun faßt ("vektoriell") zusammen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 10.11.2008 | | Autor: | mayy |
ist das nicht genau das selbe ie mein ergebnis?
ich habe bei meiner ebene E2: -8X1 - 8X2 + 32X3 = 0 wenn ich die Gleichung durch -4 dividiere erhalte ich E2: X1 + X2 - 4X3 = 0
mein Ergebnis bei der Ebene E1: -X1 +X2 = 0 wenn ich mit -1 multipliziere erhalte ich X1 - X2 = 0
oder??
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Hallo mavy,
> ist das nicht genau das selbe ie mein ergebnis?
>
> ich habe bei meiner ebene E2: -8X1 - 8X2 + 32X3 = 0 wenn
> ich die Gleichung durch -4 dividiere erhalte ich E2: X1 +
> X2 - 4X3 = 0
>
> mein Ergebnis bei der Ebene E1: -X1 +X2 = 0 wenn ich mit -1
> multipliziere erhalte ich X1 - X2 = 0
>
> oder??
Ja, das sind die selben Ebenen, die weduwe herausbekommen hat.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mo 10.11.2008 | | Autor: | weduwe |
entschuldige vor lauter indizes und zahlen ist mir der überblick abhanden gekommen,
warum hast du denn nicht gleich geeignet dividiert
wo hast du dann probleme mit der geraden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Di 11.11.2008 | | Autor: | mayy |
naja ich weiß nicht wie ich auf die schnittgerade komm. einen möglichen weg hab ich schon mal eingegeben indem ich die beiden ebenen in parameterdarstellung gleichgesetzt hab und nach s,t und r in abhängigkeit von u berechnet hab.
aber ich habe noch eine neue idee gehabt:
setzte e1 in e2 ein:
-(3+s+4t)-(3+s+4t)+4(5+6s+4t)=0
daraus folgt 14+22s+8t=0
dann ist t=-1,75 - 2,75s das kann ich ja dann wieder in die erste gleichung einsetzten und nach s auflösen.
aber wie komme ich daraus auf die schnittgerade??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Di 11.11.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo mayy,
> naja ich weiß nicht wie ich auf die schnittgerade komm.
> einen möglichen weg hab ich schon mal eingegeben indem ich
> die beiden ebenen in parameterdarstellung gleichgesetzt hab
> und nach s,t und r in abhängigkeit von u berechnet hab.
Du bestimmst s in Abhaängigkeit von t oder r in Abhängigkeit von u.
>
> aber ich habe noch eine neue idee gehabt:
>
> setzte e1 in e2 ein:
>
> -(3+s+4t)-(3+s+4t)+4(5+6s+4t)=0
>
> daraus folgt 14+22s+8t=0
Das ist der deutlich schnellere Weg.
>
> dann ist t=-1,75 - 2,75s das kann ich ja dann wieder in die
> erste gleichung einsetzten und nach s auflösen.
> aber wie komme ich daraus auf die schnittgerade??
Du setzt in die Parametergleichung von [mm] e_1 [/mm] für t den errechneten Term ein und fasst zusammen. Du hast dann eine Gleichung, in der nur noch der Parameter s vorkommt. Das ist aber eine Geradengleichung und damit die Gleichung der Schnittgeraden.
Gruß
Sigrid.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 11.11.2008 | | Autor: | mayy |
ok, ich hab des jetzt berechnet. stimmt des so?
auf das ergebnis dass t=-1,75-2,75t ist komm ich auch
dann setzt ich diese werte in die ebenen gleichung von e1 ein:
[mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}+(-1,75-2,75s)+\vektor{4 \\ 4 \\4}
[/mm]
d.h. [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}+\vektor{4(-1,75-2,75s) \\ 4(-1,75-2,75s) \\4(-1,75-2,75s) \\}
[/mm]
--> [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}+\vektor{-7-11s \\ -7-11s \\ -7-11s}
[/mm]
--> [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}-\vektor{7 \\ 7 \\ 7}+s\vektor{-11 \\ -11 \\ -11}
[/mm]
--> [mm] \vec{x}=\vektor{-4 \\ -4 \\ -2}+s\vektor{-10 \\ -10 \\ -5}
[/mm]
--> [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
stimmt das dann so???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Di 11.11.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo mayy,
> ok, ich hab des jetzt berechnet. stimmt des so?
>
> auf das ergebnis dass t=-1,75-2,75t ist komm ich auch
Diese Rechnung habe ich nicht überprüft. Aber das Verfahren ist richtig und ich nehme an, dass du dich nicht verrechnet hast.
>
> dann setzt ich diese werte in die ebenen gleichung von e1
> ein:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}+(-1,75-2,75s)+\vektor{4 \\ 4 \\4}[/mm]
>
> d.h. [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}+\vektor{4(-1,75-2,75s) \\ 4(-1,75-2,75s) \\4(-1,75-2,75s) \\}[/mm]
>
> --> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}+\vektor{-7-11s \\ -7-11s \\ -7-11s}[/mm]
>
> --> [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 3 \\ 5}+s\vektor{1 \\ 1 \\ 6}-\vektor{7 \\ 7 \\ 7}+s\vektor{-11 \\ -11 \\ -11}[/mm]
>
> --> [mm]\vec{x}=\vektor{-4 \\ -4 \\ -2}+s\vektor{-10 \\ -10 \\ -5}[/mm]
>
> --> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 2 \\ 1}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> stimmt das dann so???
Fast. Du hast nur einen Fehler gemacht. Du kannst zwar, wie Du es auch gemacht hast, jeden Richtungsvektor durch einen linear abhängigen Vektor ersetzen. Beim Stützvektor darfst Du das aber nicht. Du erhälst sonst eine parallele Ebene. Das Ergebnis ist also:
[mm]\vec{x}=\vektor{-4 \\ -4 \\ -2}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Di 11.11.2008 | | Autor: | mayy |
viielen viielen dank
des is voll super dass ihr euch so viel mühe gemacht habt.
die aufgabe muss ich auf abruf bereithalten und dann in meiner klasse präsentieren können. desshalb bin ich jetzt voll froh, dass ich sie ferig machen konnte
DANKE
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